李继猛，杨甲山

（1.邵阳学院理学院,湖南邵阳422004；2.梧州学院大数据与软件工程学院,广西梧州543002）

0 引 言

考虑时间模上一类二阶非线性中立型变时滞动态方程

关于时间模理论与时间模上动力方程的基本理论以及方程(1)解及其振荡性的定义,可参见文献[1-2]。由于讨论的是当t→时方程(1)解x(t)的振荡性,所以假设supT=,t0T且t0≥0,则定义时间模区间为[t0,)T=[t0,)T。显然,方程(1)包含了其他很多重要的动态方程,因此研究方程(1)的振荡性很有意义。例如,方程(1)包含了动态方程等。

时间模上各种类型的一阶及二阶动态方程的振荡和非振荡性已有很多研究成果。AGARWAL等[3]、GRACE 等[4]、SAKER[5]讨 论 了 当 α >1为 正奇数之商时方程(2)的振荡性,得到了该方程各种类型的振荡准则,但其结果对0＜α≤1不适用。紧接着,HAN等[6]和HASSAN[7]解决了这一问题,扩充了α的变化范围,改进了AGARWAL等[3]和SAKER[5]的结果。之后,SAKER等[8]及GÜVENILIR等[9]研究了当α和β均为正奇数之商时变时滞方程(3)的振荡性,得到了方程(3)振荡的许多充分条件,但没有得到α和β均为任意正实数时的振荡准则。在此基础上,文献[10]研究了方程(1)的特殊情形，即方程(4)的振荡性,得到了该方程振荡的若干新的充分条件,将α和β的取值范围拓广到了任意正实数,推广并改进了文献[8-9]中的结果。而文献[11]则研究了一类更加广泛的二阶Emden-Fowler型动态方程(5)的振荡性,遗憾的是有较严格的条件“0＜ β＜ α＜ γ,且 aΔ(t)≥ 0”,且当α＜β及α>γ时没有给出方程(5)振荡的判别定理。近期的其他类型方程的振荡结果,可参看文献[12-18]。

本文将研究更为一般的方程(1)的振荡性,根据α,β及γ的取值范围,考虑以下3种情形：

得到了方程(1)振荡的一些新的充分条件，放弃了条件“aΔ(t)≥ 0”，并拓宽了 α,β及 γ的取值范围，推广并改进了一些已有结果。

1 方程（1）的振荡准则

引理1[1]设函数x(t)是Δ可微的且最终为正或最终为负,则

引理2[1]若A,B为非负实数,则当λ>1时,当且仅当A=B时等号成立。

则方程(1)在[t0,∞)T上是振荡的。

证明设x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一个非振荡解,不失一般性,设x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δi(t))>0(t∈[t1,∞)T,t1∈[t0,∞)T), 令 y(t)=x(t)+p(t)g(x(τ(t))),则y(t)>0,并且由方程(1)得

所以由式(9)知,

是严格单调递减的,且最终定号,于是断言

否则必存在 t2∈[t1,+∞)T,使得yΔ(t2)＜0。因此由式(9)得

此 处 M=-a(t2)(yΔ(t2))=a(t2)|yΔ(t2)|α-1×

[-yΔ(t2)]>0为常数。于是当 t[t2,)T时,亦即yΔ(t)≤-，两边积分,得

即

现考虑广义黎卡提变换

于是,当0＜α≤1时,将上式代入式(11),并注意到y(t)≤ yσ(t), 得

利用a(t)(yΔ(t))α(t∈ [t1,∞)T)的单调递减性, 可得

于是,对充分大的T0∈[t1,∞)T和常数δ0=G(T0)＜ δ(t),有

整理得

综合式(16)和(17),即得

将上式代入式(15),得

令

将其代入引理2的不等式,整理得

将上式代入式(19),得

这与式(6)矛盾。定理证毕！

注1 当β≤α≤γ时，定理1的结论显然也是成立的。

定理2 若α＜β＜γ,且存在一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t),使得对充分大的T0≥t0及(t)>G(T0)：=, 有

其 中 ，函 数 θ(t,δ0)的 定 义 同 定 理 1,Q2(t)=0 均 为 常 数)。 则方程(1)在[t0,∞)T上是振荡的。

证明同定理1的证明,可得式(12)、(14)和(18)。由 yΔ(t)>0,y(t)>0知, 存在常数 k>0,使得当t∈[T0,∞)T时,y(δ(t))≥ k>0,于是[y(δ(t))]β-α≥ kβ-α,[y(δ(t))]β-α≥ kγ-α。因此,由式(12)并注意到式(14)、(18)及上式,当t∈ [T0,∞)T时,有wΔ(t)≤ -L1ξ(t)q1(t)[1-

后续证明完全类似于定理1,此略。

注2 当α≤β＜γ时，定理2的结论显然也是成立的。

定理3 若β＜ γ＜ α,且存在一个正的单调非减且Δ可微的函数ξ(t),使得对充分大的T0≥ t0及 δ(t)>G(T0)：= δ0, 有

式中，函数θ的定义同定理1,Q3(t)=0, k> 0 均为常数)，则方程(1)在[t0,∞ )T上是振荡的。

证明设x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一个非振荡解,不失一般性,设x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δi(t))>0(t∈ [t1,∞)T,t1∈ [t0,∞)T)。 由 定 理 1的 证 明 知,y(t)>0,yΔ(t)>0, 且 式(9)、(10)及(18)成立。类似地,由引理1,得

则W(t)>0(t∈[t1,∞)T),注意到式(9)、(10)及(18),于是当0＜ β≤ 1且t∈[t1,∞)T时,由上式有

于是存在充分大的T0∈[t1,∞)T及常数k>0,使得y(t)≤ kη-1(t)(t∈[T0,∞)T),即

此外, 再 利 用 a(t)[yΔ(t)]α(t∈ [t1,∞)T)的 单调递减性,并注意到式(24),可得

将式(25)代入式(23),得则有

将上式代入式(21),得

上式两边从T0到t(t>T0)积分,并取上极限,得

这与式(22)矛盾。定理证毕！

注3 当β＜γ≤α时，定理3的结论显然成立。

例1 考虑动态方程

这是方程(1)中a(t)=[t+σ(t)]-8/3,q1(t)=(1+q2(t)=(1+)3(t+1)4, p(t)=τ(t)=δ1(t)=δ2(t)=t2/3,f1(u)=f2(u)=u,且α==2,γ=3的情形。

由于β＜α＜γ,只能用定理1来判别方程(27)是否振荡。

且

简单起见,在定理1中取ξ(t)=t,于是有

于是，由定理1,方程(27)是振荡的。