章茜，蔡光辉，郑钰滟

（浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州310018）

0 引 言

设{Xn,n≥ 1}是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列。在许多实际问题中，独立性假设并非都合理，为此，学者们相继提出了很多相依结构。研究相依结构的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际意义。 近来，WANG等[1]提出了WOD(widely orthant dependent)随机变量序列的概念。其定义如下：

定义1[1]若存在有限的实数序列{gU(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n满足则称是WUOD(widely upper orthant dependent)序列。

若存在有限的实数序列{gL(n),n≥1},任取n≥ 1和xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n满足

则称{Xn,n≥1}是WLOD(widely lower orthant dependent)序列。

若{Xn,n≥1}既是WUOD序列,又是WLOD序列，则称{Xn,n≥1}是WOD序列。

WOD序列均较NOD(negatively orthant dependent)和END(extended negatively dependent)[2-5]等随机变量序列更加广泛和一般。WANG等[6]获得了WOD随机变量序列的精确大偏差。施生塔等[7]利用WUOD序列的指数不等式,在适当的条件下获得了WOD样本下密度函数核估计的强相合性。QIU等[8]在适当条件下获得了WOD随机变量序列加权和的完全收敛性和矩完全收敛性。蔡光辉等[9]在一个独立随机变量序列的重对数律的基础上,获得了不同分布WOD随机变量序列的重对数律。TAO等[10]获得了WOD随机变量序列滑动平均过程的完全收敛性。LIU等[11]获得了WOD随机变量序列的矩完全收敛性。WANG等[12]获得了WOD随机变量序列的完全收敛性及在非参数退化模型中的应用。丁洋等[13]获得了WOD随机变量加权和的完全收敛性。

完全收敛性的概念是由HUS等[14]最先提出并加以研究的,此概念提出之初就吸引了众多学者的关注,至今已取得了丰硕的成果。本文的主要目的是在更广泛的WOD随机变量序列的情形下,利用部分和最大值的Rosenthal型矩不等式,获得部分和最大值的完全收敛性结果。

定理1 设{X,Xn,n≥1}为同分布的WOD随机变量序列,E|X|p＜∞,0＜p＜2。 记Sj=,t≥ 2,αp>1。 特 别 地 ，当α≤ 1时,令EX=0，则有

注1 若{X,Xn,n≥1}为END随机变量序列,则定理1仍成立。

注2 定理1将文献[14]中的定理3.1推广至部分和最大值的完全收敛性情形。

注3 定理1得到了{X,Xn,n≥1}为独立同分布随机变量序列时的结果。

本文中，C表示正常数,且在不同的地方可为不同的值。an≪bn表示an=O(bn),an=O(bn)表示an≤ Cbn。 记 log x=ln max{x,e}。

1 定理的证明

为了证明定理1,需要以下2个引理。

引理1[2]设为WOD随机变量序列,若为均非升（或均非降）的函数,则仍为WOD随机变量序列。

引理2[11]设r≥2,为均值为零的WOD随机变量序列，对任意的n≥1均有则存在仅依赖于r的正整数c1(r)和c2(r),使得对任意的n≥1，有

定理1的证明 ∀k≥1,令

于是可得

（1）当α≤ 1时,由αp>1,得p>1。 注意到及q的取法,有αpq>1,q＜1,由此可得

（2）当α >1，p≥ 1时，

故欲证I1＜∞，只须证

即可。

由引理1知,{Xk(1),1≤k≤n}也是WOD的。根据Markov不等式、Cr不等式及引理2可得

由式(3)～式(5)，可得式(2)成立。

因为0 ≤ Xk(2)≤ εnα/4N，且Xk(2)> εnα/4,这就意味着中至少有N个Xk(2)不为零,令+1，于是

因为-εnα/4N≤Xk(3)≤0，且这意味着中至少有N个Xk(3)不为零，令, 由式(6)可得

由式(2)和式(6)～式(8),可得式(1)成立,至此定理1得证。