焦敬品，李海平，翟顺成，何存富，吴斌

北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院，北京 100124

在航空航天领域，加筋板构件得到广泛应用，如空间站舱体、飞机舱门等。受制造工艺、工作载荷、运行环境等因素的影响，这些结构难免会出现裂纹、腐蚀、孔洞等缺陷，影响结构的安全运行，甚至造成重大安全事故和人员伤亡[1-2]。因此，为保证这些重要结构件的安全运行[3-4]，需要发展有效的加筋板结构健康监测技术。

作为一种高效的无损检测技术，兰姆波检测技术已经广泛应用于板结构无损检测与健康监测[5-8]。但利用常规的兰姆波检测技术对板结构进行检测时，需要预先获知(或通过预实验检测得到)待检测板结构中兰姆波的传播特性，如激励出的兰姆波模态类型[9]及其波速[10]。由于加筋板结构复杂，无法直接应用商用波传播特性分析软件(如Disperse软件[11])计算出其传播特性。因此，如何获得复杂结构中兰姆波的传播特性，将直接关系到兰姆波检测技术的有效性。

压缩感知是一种有效的信息采集与重建技术。利用信号本身或其在某个变换域中的稀疏性，能够从少量采样数据中以极高的精度重建原始信号，减少需要采集的数据量。目前，压缩感知理论已经广泛应用于医学成像领域，如磁共振共像(MRI)、计算机断层扫描(CT)、正电子发射型计算机断层显像(PET)、光声成像等。在超声领域，国内外学者也对压缩感知技术的应用开展了广泛的研究。例如，利用分布式压缩感知理论，Zhang等[12]提出一种自适应波束形成方法，有效增强了点目标的成像效果。花少炎等[13]将压缩感知理论应用于超声逆散射成像中，有效提高了成像的空间分辨率和对比度。吕燚等[14]将压缩感知应用于合成孔径医学超声成像中，在保证成像质量的前提下，降低了检测系统的复杂度。王平等[15]通过高效能稀疏字典设计，提高了合成孔径压缩感知成像质量，降低了成像系统的复杂度。根据兰姆波在频域波数域的稀疏特性，Harley和Moura[16]提出了一种基于压缩感知的兰姆波传播特性(频散特性)恢复方法，并将其应用于各向同性金属板中兰姆波传播响应的预测及缺陷成像中[17-18]。基于兰姆波的理论频散特性，Gao等[19]将改进的压缩传感技术用于远场情况下兰姆波的模态分离。针对压缩感知技术在兰姆波频散特性恢复受噪声影响大的问题，Zhao等[20]在频率连续性约束条件下，将边缘提取技术及变分贝叶斯高斯混合模型用于连续性频散特性的提取，很好地恢复出兰姆波的频散曲线。

综上所述，将压缩感知技术引入兰姆波检测信号分析处理，可以在无需预先获知待检测结构的频散特性的条件下，恢复出兰姆波的频散特性，并实现缺陷成像。因此，压缩感知技术可以解决兰姆波检测中需要预先获知结构频散特性的瓶颈问题，这对于复杂板结构的大范围损伤检测尤为重要。针对航空航天领域大型装备中金属加筋板安全评价需要，本文将压缩感知应用于加筋板兰姆波健康监测中，利用压缩感知技术从稀疏阵列得到的检测数据中恢复出加筋板中兰姆波的频散特性，并提出一种将余弦相似度和皮尔森相似度相结合的复合成像方法，用于金属加筋板的大范围缺陷检测及成像。

1 基本理论

基于兰姆波在频率-波数域中的稀疏性，将压缩感知技术应用于兰姆波传播特性恢复及缺陷成像。分析兰姆波在频域波数域的稀疏性；利用压缩感知技术对稀疏阵列采集的兰姆波信号进行处理，从中恢复出兰姆波的频散特性；利用测试数据与预测数据，提出了一种复合相似度的兰姆波成像方法。

1.1 频域-波数域中兰姆波的稀疏性

建立如图1所示的无限大平板中兰姆波传播模型。建立柱坐标系，其中z轴垂直于板结构表面，r轴平行于板面，θ为偏移角。

图1 兰姆波传播模型Fig.1 Propagation model for Lamb wave

当激励位置位于坐标原点O处时，任意距离r处兰姆波的频域表达式可以表示为[18]

(1)

式中：m表示兰姆波的模态；km(ω)表示频率为ω时，m模态兰姆波的波数；Gm(ω)为m模态兰姆波在频率ω处位移响应的幅值。

若在板上表面布置P个传感器，依次激励每一个传感器，其余传感器全部用于兰姆波的接收，则共有M=P(P-1)/2对激励接收传感器及对应的M组检测信号。根据传感器所处的位置可以计算出每对传感器之间的距离，分别表示为r1,r2,…,rM。为便于从M组检测信号中提取出兰姆波的频率-波数信息，在激励信号的带宽范围内，将波数等间隔离散成N等份，根据预想恢复出的波数范围，将频率等间隔离散成Q等份，构成维度为M×M的距离系数对角矩阵Dr和维度为N×N的波数系数对角矩阵Dk：

(2)

(3)

离散后的传播项可用M×N维的矩阵A表示：

A=(exp(-jkjri))ij

(4)

式中：i={1,2,…,M},j={1,2,…,N}。通过上述的频率和波数离散化，式(1)可以用矩阵的形式表示为

y=DrADkv

(5)

式中：v为离散化的兰姆波幅值响应；y表示通过分布在板结构上的稀疏传感器阵列得到的多组兰姆波接收信号的频域表达式离散形式。结合离散化后的波数和距离矩阵，可以从式(5)中求得离散化的兰姆波幅值响应函数，该函数的非零值即为兰姆波频散特性。式(5)从理论上阐释了兰姆波频散特性的恢复机理。显然，v为频率-波数(f-k)的函数：

(6)

式中：V(k,ω)表示波数为k频率为ω时的频率波数幅值：

(7)

为了更好地理解式(6)和式(7)，图2给出了离散化的兰姆波幅值响应在频率-波数空间的分布示意图。从图中可知，对于任意k，当其满足k=km(ω)时，V(k,ω)的值为Gm(ω)(非零值)；当满足k≠km(ω)时，V(k,ω)的幅值为零。这些非零值构成了兰姆波的频率-波数曲线，即兰姆波的频散曲线。

图2 兰姆波在频率-波数空间的幅值响应Fig.2 Lamb waves amplitude response in frequency-wavenumber space

1.2 基于压缩感知的兰姆波频散特性恢复及波形预测

对于复杂板结构(如金属加筋板)，难以通过理论计算得到其上兰姆波传播的频散特性。由于加筋板中筋的周期分布特点以及兰姆波传播的周向一致性，使得加筋板结构中兰姆波在不同方向上的频散特性差异较小。若忽略加筋板中兰姆波频散特性在空间不同方向的差异性，则可以利用压缩感知技术对随机布置在板中任意位置的传感器接收信号进行处理，恢复出加筋板结构中兰姆波的频散特性。

利用稀疏分布的传感器阵列，在无缺陷金属加筋板上进行兰姆波检测，采集到M组信号y′(t)。对时域信号y′(t)进行傅里叶变换得到无缺陷参考信号y，将距离、频率和波数离散，计算出系数矩阵DrADk，构造以离散化兰姆波幅值响应v为未知量的方程，即式(5)。

式(5)是一个多元一次线性方程组。在通常情况下，对于系数矩阵DrADk，一般M

(8)

由于求解l0范数下约束优化问题的数值计算具有不稳定性，可将求解l0范数问题等价为l1范数问题的求解：

(9)

考虑到实际检测信号总是不可避免地会受到噪声的影响，可将式(9)转化为具有松弛约束的l1范数最小化问题[16]：

(10)

式中：ε表示重构信号允许的最大误差。式(10)表示的优化问题等价于拉格朗日乘子形式：

(11)

根据式(5)可知，在恢复出加筋板的频散特性的基础上，还可以利用该式对兰姆波的传播进行预测，即可以计算出任意空间位置处兰姆波的波形。

1.3 复合相似度兰姆波成像方法

基于任意空间位置处的预测信号与检测信号的相似度分析，本文提出一种基于复合相似度的兰姆波成像方法。首先，在保持检测系统中传感器布置不变的情况下，将待检测金属加筋板的成像区域离散成L×W(长度方向离散为L个点，宽度方向离散为W个点)个成像点，如图3中的灰色点所示。

(12)

式(12)的预测信号表达式仅考虑了单一缺陷的作用，无法用于包含多个缺陷的声场预测。当结构中存在多个缺陷，利用式(12)得到预测信号与测试信号的相似度会大大降低，而在某些非缺陷处的相似度会提高，导致成像对比度降低，并产生了较多的伪像。为了提高缺陷的检测能力，本文将余弦相似度与皮尔森相似度相结合，发展了一种复合相似度的兰姆波成像方法。该方法利用了余弦相似度函数不受幅值影响[20]以及皮尔森相似度能抑制噪声的[21]特点，可以大大提高缺陷成像的分辨率，并很好抑制了伪像。该成像方法可表示为

图3 计算预测信号路径Fig.3 Calculation of predicted signal path

(13)

(14)

(15)

2 实验系统

待检测的金属加筋板试件尺寸为300 mm×988 mm×20 mm，板厚5 mm、筋高15 mm、筋宽4 mm，如图4所示，图4 (a)和图4 (b)分别为待测金属加筋板的正面(有筋面)和背面(无筋面)。

由于试件较大，选取加筋板中大小为744 mm×739 mm的区域作为检测区域进行实验，即图中方框内部区域。图5为实验系统示意图，实验系统包括任意函数发生器、电压放大器、示波器、待测金属加筋板试件以及由25个压电片(直径8 mm、厚度0.4 mm)组成的传感器阵列。将25个压电片稀疏随机排布，粘贴在加筋板的背面(无筋面)，传感器坐标在表1中给出。依次对每个传感器分别激励时长为0.1 ms的Chirp信号(0～1 MHz)，其余传感器用于信号接收。激励幅值为20 V，采样频率为25 MHz。

图4 加筋板试件Fig.4 Stiffened panel specimen

图5 加筋板实验系统Fig.5 Stiffened panel experimental system

表1 传感器序号及坐标(mm)Table 1 Number and coordinates of sensors (mm)

序号坐标序号坐标序号坐标1(84,683)10(683,500)19(497,203)2(243,630)11(88,352)20(650,239)3(399,665)12(204,392)21(75,50)4(520,700)13(360,365)22(187,50)5(685,643)14(540,400)23(370,98)6(56,547)15(657,350)24(555,40)7(211,525)16(52,210)25(696,110)8(400,500)17(225,18)9(531,529)18(400,250)

3 结果与讨论

3.1 兰姆波频率-波数关系恢复

利用1.2节所述的压缩感知技术对加筋板中兰姆波频散特性进行恢复。为说明该方法恢复结果的可靠性，图6给出了相同实验条件下1 mm铝板的频率-波数关系恢复结果，图中黑线为1 mm 厚铝板的A0和S0模态理论频散曲线，可以看出，利用压缩感知技术恢复出的频率-波数关系与理论曲线吻合良好，恢复准确度高。

图6 1 mm厚铝板中兰姆波幅值响应的频率-波数分布Fig.6 Frequency-wavenumber distribution of Lamb wave amplitude response in 1 mm-thick aluminum plate

图7给出了金属加筋板中兰姆波的频率-波数关系恢复结果，同时将恢复结果与理论计算得到的不同厚度铝板的S0模态理论频率-波数曲线进行了结果比较(图7 (a)))，以及和最接近的3.5 mm 厚铝板的S0模态理论频率-波数曲线的结果比较(图7 (b)))。由图7可知，在0～1 MHz 范围内，压缩感知技术主要恢复出了金属加筋板中的S0模态的兰姆波，恢复结果的稀疏度较高。与不同厚度铝板S0模态理论频率-波数曲线比较可以看出，其与3.5 mm厚铝板的S0频率-波数理论曲线最为接近，该厚度与加筋板构件的相关尺寸(整体厚度20 mm、板厚5 mm、筋厚15 mm)均无关。结果表明，金属加筋板中兰姆波的频散特性与平板中兰姆波的频散特性有较大差别，不能简单地使用某一厚度平板的频散特性加以替代。

图7 加筋板中兰姆波幅值响应的频率-波数分布Fig.7 Frequency-wavenumber distribution of Lamb wave amplitude response in stiffened plates

3.2 缺陷检测与成像

保持25个传感器相对位置不变，在两个不同位置(250 mm, 345 mm)、(540 mm, 250 mm)依次粘贴钕铁硼圆柱(直径34 mm、高7 mm)和钢圆柱(直径30 mm、高60 mm)作为粘贴缺陷，如图5所示，依次采集单缺陷和双缺陷测试信号。

根据式(13)进行加筋板中复合相似度兰姆波成像，图9和图10为利用3种不同成像方法得到的加筋板检测结果，3个分图分别为复合相似度兰姆波成像、基于余弦相似度的兰姆波成像和基于皮尔森相似度的兰姆波成像结果。对比3种方法的成像结果可以看出，不论单缺陷检测还是双缺陷检测，复合相似度兰姆波成像方法的成像质量均优于另外两种成像方法的检测结果：成像的分辨率更高、伪像更少，且定位更准确。基于复合相似度的兰姆波成像方法可以很好实现加筋板中多缺陷检测及定位。

为了说明复合成像方法相对于单一相似度成像方法的优势，图11给出了多缺陷成像时，3个相似度函数在两个缺陷中心位置处沿宽度方向上(y=0.34 m和y=0.27 m，图10虚线所示)的空间分布。可以看出，与两种单一相似度函数相比，复合相似度函数在缺陷与非缺陷位置处的对比度更大，有利于消除伪像；此外，复合相似度函数在缺陷位置的指向性更好，提高了缺陷的空间分辨能力。因此，提出的复合相似度成像方法可以很好实现金属加筋板中多个缺陷的成像。

为直观反映3种成像方法在缺陷检测能力方面的差异性，对3种成像方法的定位误差、空间分辨率和对比度进行了对比分析。定位误差表示成像方法的定位准确性，缺陷的空间分辨率用API值表示，对比度用缺陷面积与非缺陷面积的比值g表示。

图8 预测信号和测试信号Fig.8 Prediction signal and test signal

图9 单缺陷兰姆波成像结果Fig.9 Lamb wave imaging results of single defect

图10 多缺陷兰姆波成像结果Fig.10 Lamb wave imaging results of multi defects

图11 相似度函数空间分布Fig.11 Spatial distribution of similarity function

API的定义为

(16)

式中：S-6dB为由成像幅值最大值(0)下降到-6 dB 所对应的成像区域(面积)；S为整体成像区域(面积)；n表示缺陷个数。API值越小，成像分辨率越高。

对比度g的定义为

(17)

式中：分子表示S-6dB区域内成像点幅值的均值，其内的成像点(xd,yd)处的成像幅值为B(xd,yd)；分母表示除S-6dB区域外其他成像点幅值的均值，其内的成像点(xi,yi)处的成像幅值用B(xi,yi)表示。不难理解，对比度g越小，图像的信噪比越高，伪像越少。

分别计算单缺陷和双缺陷的定位误差、API值和对比度g值，结果如图12～图14所示，其中1、2和3分别表示复合相似度兰姆波成像、基于余弦相似度的兰姆波成像和基于皮尔森相似度的兰姆波成像。

图12 不同成像方法的定位误差Fig.12 Location error of different imaging methods

图13 不同成像方法的API值Fig.13 API of different imaging methods

图14 不同成像方法的对比度Fig.14 Contrast ratio of different imaging methods

可以看出，与两种单一成像方法相比，复合相似度兰姆波成像方法的定位误差较小(除双缺陷中第一个缺陷的复合相似度成像的定位误差略高于基于皮尔森相似度成像的定位误差)；API值更小(除单缺陷复合相似度成像的API值略高于基于皮尔森相似度成像方法的API值)，说明其成像分辨率更高；对比度更小，说明其消除伪像能力更强，信噪比更高。

4 结 论

1) 利用压缩感知技术，可从稀疏阵列的检测信号中恢复出复杂板结构中(例如金属加筋板)兰姆波的频散特性，恢复准确度高。

2) 基于恢复的兰姆波的频散特性，发展的复合相似度兰姆波稀疏阵列成像方法，能够实现金属加筋板中多个损伤的检测及定位，缺陷定位准确，成像分辨率高，能很好消除伪像，信噪比高。

3) 基于式(1)所示的板中兰姆波传播的简化模型，发展了一种基于压缩感知的加筋板结构兰姆波健康监测技术，因此，提出的方法仅适用于可用式(1)所示简化模型表述的类板结构中波传播问题。此外，尽管压缩感知是一种稀疏采样技术，但为保证恢复结果的精度，仍需要在板结构上稀疏排布一定数量的传感器。在后续工作中，将进一步研究传感器数量及排布形式对检测结果的影响。