李影飞

中国航天之父钱学森教授曾经说过：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础。数学教学与思维的关系紧密相连。数学教学实际上就是在教师的指导下，通过思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构，向数学家的数学思维结构转化的过程。因此，对数学思维的研究，是数学教学研究的核心。

一、激发学习兴趣，调动学生数学思维的积极性

教育心理学认为：兴趣是力求认识和接触某种事物的倾向。事实证明，兴趣是提高学生学习兴趣的内驱力，也是思维发展的前提条件。只有学生对某一事物发生兴趣，才会积极动脑筋想办法去探讨和研究它。根据这一心理学特点，教师在教学中应该尽量提一些学生感兴趣的具有思维性的问题，激发学生的学习兴趣和求知欲望，促使他们动手、动脑，主动探究，从而达到培养他们数学思维能力的目的。

例如，在教学“鸡兔同笼”时，由于这个知识相对于学生来说比较抽象，学生不好理解，需要较强的思维能力作支撑。为了更好地为新课学习做好铺垫，激发学生的学习兴趣，做好积极思维的预热，在探究新知之前我特意设计了四组闯关题，并以学生喜闻乐见的动画形式显示出来：

第一关： 一只鸡有（）个头，（）条腿;

一只兔有（）个头，（）条腿。

第二关：2只鸡和2只兔共有（）个头，（）腿。

7只鸡和3只兔共有（）个头，（）腿。

第三关：用表示鸡或兔的头，用表示腿，按要求给鸡或兔画上头和腿。

第四关：根据下列所给的腿的总数，用鼠标拖动相应的鸡或兔。（八只脚）

上述的四个闯关活动，难度由浅到深，层层递进，既有效地激发了学生的学习兴趣，又巧妙地激起了学生思维的动机，使他们沉浸在积极思考的探索中，为新知的探究奠定了坚实的思维基础。

二、做好形象思维和抽象（逻辑）思维的转化

形象思维与抽象思维是两种基本的思维方式，人类从事各种活动，往往需要对两种思维方式协同使用。对于数学学习活动来说，亦是如此。专家的大脑中有着丰富的形象贮备，在解决数学问题时，他们总是先根据问题情景构建出清晰的数学图象;尽可能利用图形来反映题目中的数量关系;善于在头脑中对有关形象进行分析、比较、类比、整合，做到数形结合。所以，专家往往对问题的形象有着较强的直感能力。而一般人的大脑中，形象的贮备相对贫乏，他们在解决数学问题时，不善于从形象上去把握问题，不善于把形象思维和抽象思维融会贯通，一接触到问题，就企图立即建立有关的求解方程，其结果往往是欲速则不达。因此，在数学教学中，教师要善于引导学生沟通形象思维和抽象思维的内在联系，加强两者之间的互相转化，发展学生的数学思维。

北师大版数学教材五年级上册的《点阵中的规律》属于新课程标准中的“尝试与猜测”这部分内容，是《标准》中的数形结合思想在教材中的具体体现，它从“中国古代名题”延伸到“普遍联系找规律”， 引导学生通过观察、推理等活动，在生动的情景中找出图形的变化规律，从形象思维入手，逐步沟通过度到抽象思维，从而将数形结合在一起。教学时，我先出示四个正方形点阵：

我启发学生思考：“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点？”“怎么数得这样快？有窍门吗？” 学生经过观察和思考，很快会说：“用算式算出来的。”教师根据学生的回答，板书第一组算式：

这样，一个“算”字，学生的思维初步实现由“形”——“数”的转换。接着，我说：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢？第六个呢？第七个？八个？……第100个呢？” 有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”

接着，我再引导学生从另一个角度去思考（电脑演示一下图形）：

“斜着看又可以得到什么新的算式呢？”让学生独立思考，得出算式，然后汇报。我根据学生的回答板书：

并让学生说说“谁发现了什么规律？” 引导学生得出“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3個点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。“第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。

紧接着，我再次设疑：“刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？”（课件演示）

学生经过思考，列出算式，并得出“几个点阵就从1开始加几个连续奇数”的规律。在这里，教师不是让学生思维之旅就此结束，而是把上面的几组算式进行整合（课件显示）：

三、落实收敛思维和发散思维的辩证统一

收敛思维也是创新思维的一种形式，与发散思维不同，发散思维是为了解决某个问题，从这一问题出发，想的办法、途径越多越好，总是追求还有没有更多的办法。而收敛思维也是为了解决某一问题，在众多的现象、线索、信息中，向着问题一个方向思考，根据已有的经验、知识或发散思维中针对问题的最好办法去得出最好的结论和最好的解决办法。收敛思维与发散思维，如同“一个钱币的两面”，是对立的统一，具有互补性，不可偏废。实践证明：在教学中，既重视培养学生发散思维，又重视收敛思维的培养，才能较好地促进学生思维发展，提高学习能力，培养高素质人才。

教学实践经验告诉我，训练发散性思维的最佳方法是开展研究型学习。改变传统的学习模式，每遇到一个问题时，首先以这个问题为中心，展开思路去寻求不同的解题方法。例如，在学习了《路程、时间与速度》一课后，我出示了这样一道思维训练题：“从我家到学校的路程是 600 米，我步行的速度是 60 米/分，我从家出发步行 9 分钟能否到达学校？（你有多少种方法呢？）”根据一般的思维习惯，很多学生会用“时间=路程÷速度”的方法求出“从我家到学校所需的时间”再行判断。在这里，我特意加上一句话“你有多少种方法呢？”目的在于引导学生发散思维，运用不同的思路进行解题。在我的启发下，最终学生能分别从路程、时间、速度三个方面进行比较，确定“我是否能在9分钟内到达学校”。

四、加强正向思维和逆向思维的互化

所谓正向思维，就是人们在创造性思维活动中，沿袭某些常规去分析问题，按事物发展的进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知，通过已知来揭示事物本质的思维方法。逆向思维则是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。于数学学习来说，把正向思维和逆向思维紧密联系在一起，加强两者的内化，能帮助学生深刻理解题意，提高数学思维能力。

例如，“小明有14张邮票，送给妹妹3张，爸爸又给他买5张，小明现在有多少张邮票？”这是一道简单的两步计算的应用题，按顺向数量关系列式为14-3+5=（）。可以转化为“小明若干张邮票，送给妹妹3张，爸爸又给他买5张，这时小明有14张邮票，小明原来有多少张邮票？”转化后的数量关系是（）-3+5=14。但这个问题必须把这个数量关系逆转为14-3+5=（）才能解决。又如判断题“钝角都大于90°”在学生作出正确判断以后，把题目改为“大于90°的都是钝角。”引导学生从正反两个方面进行分析、比较、判断，既拓展了学生的认知领域，也有效提高思维的能力。

责任编辑 徐国坚