孙 杰，黄庭轩，朱东方，黄 静，孙禄君

(1.上海航天控制技术研究所·上海·201109； 2.上海市空间智能控制技术重点实验室·上海·201109)

0 引 言

传统航天器中心刚体的质量和转动惯量在整个系统中占据绝对优势，是典型的中心刚体占优的刚柔耦合系统，其控制模式主要为采用力矩控制形式的被动控制[1-3]。随着航天技术的发展，以大型化、轻质化和柔性化为典型特征的大型柔性航天器正在成为新一代航天器发展的一个重要趋势[4]。

智能材料和结构在大型柔性航天器上拥有很好的应用前景。传统驱动器的体积和质量都较大，不便于在轨航天器实现挠性主动抑制，较适合于固定系统或地面系统的振动控制。压电材料具有质量小、易于粘贴于主体结构表面或埋入主体结构内部、频响高、灵敏度高、能量密度高、温度敏感性低等优点，这使得压电材料适合于航天结构的挠性振动主动抑制。压电陶瓷(Piezoelectric Ceramic Transducer，PZT)和压电纤维复合材料(Macro Fiber Composite，MFC)是目前使用最为广泛的压电材料。凭借较强的压电性能和较好的稳定性，压电陶瓷被广泛应用于传感器、振动控制、换能器等领域，是当前应用最为普遍的压电材料[5-9]。LI D X等[8]采用嵌入式的压电智能结构设计了一种新的、针对大型柔性空间结构振动抑制的机构。QIU Z C等[9]采用陀螺仪和经位置优化后的PZT压电片作为传感器和驱动器以解耦弯曲和扭转耦合振动的悬臂板结构，建立了压电板系统的运动方程，并设计了一种时间离散的滑模变结构控制算法，对柔性悬臂板结构进行了试验研究。经试验结果验证，所提方法可以显著抑制悬臂板的振动。

近年来，压电纤维复合材料驱动器以其良好的驱动性能得到了广泛的发展和应用。图1所显示的是Smart Material公司生产的宏纤维复合材料驱动器，它是目前已经实现商业化的压电纤维复合材料产品，也是目前应用于航空航天领域中的最为先进的压电驱动器。相比传统的PZT，MFC具有很大的优势。PZT材料脆性大，易碎，不便于加工，同时对于粗糙的材料表面不便实现粘贴，这些缺点限制了PZT材料的应用范围。压电纤维材料的出现促进了MFC的诞生，MFC大大改善和增强了PZT材料的脆性和柔韧性，同时又延续了PZT材料频响高、灵敏度高的优点，并且能量密度更高。MFC已在结构压电主动控制中显示出了极大的优越性。MFC是当前最先进的驱动器类型之一，在驱动载荷和驱动应变方面的性能大大优越于PZT[10]。将两种不同的MFC应用于1/6缩比的F/A-18模型中进行抖振控制[11]。孙杰等[12]采用MFC驱动器对全动垂直尾翼的抖振问题进行了主动控制研究。MFC拥有较高的面内驱动性和灵活的驱动指向性，能够显著增强扭转驱动效果，这使其在航空航天领域中得到了广泛的关注。MFC在结构振动控制领域中取得了优异的应用成果，将MFC应用于大型柔性航天器的振动抑制领域具有极好的应用前景。

图1 MFC压电驱动器Fig.1 MFC piezoelectric actuator

综合国内外的研究现状，可以看出MFC驱动器在航空领域中得到了广泛应用，但其在航天器尤其是大型柔性航天器上还鲜有应用。本文基于压电纤维复合材料驱动器，建立了带有压电驱动的刚柔耦合动力学方程，对柔性航天器的姿态运动与挠性振动进行了耦合分析，并研究了在外界激励条件下对姿态运动与振动的协同控制。

1 粘贴MFC驱动器的航天器刚柔耦合动力学模型的建立

首先介绍压电纤维复合材料驱动器的建模方法。图2所示的是压电纤维复合材料驱动器的典型驱动模式。一对压电纤维复合材料片分别对称粘贴于主体结构的上下表面，驱动弯矩或扭矩可由在压电纤维复合材料片上下分别施加相反的驱动电压而获得。在图2中，1、2和3坐标系为驱动器材料坐标系；x、y和z坐标系为空间结构坐标系。压电纤维复合材料与压电陶瓷材料的不同之处在于， 1方向为压电纤维的铺设方向，同时1方向为压电纤维的极化方向，因此只有1方向上的电场强度E1≠0，其余两个方向上的E2和E3均等于0。同样，在1和2方向上能够产生驱动应变，而3方向上为压电应变，不产生驱动。σ1和σ2分别为压电驱动器上的主向应力。

在压电纤维复合材料中，压电纤维的排列方向具有指向性和可设计性。图2所示的是压电纤维(1方向)沿x坐标轴进行0°铺设。如果压电纤维与结构坐标轴之间存在夹角，则会产生由切向应力组成的力矩(如图3所示)，这与压电陶瓷只产生由正应力组成的力矩明显不同。在图3中，σx和σy分别为压电驱动器上的正应力，τxy和τyx分别为切应力。很显然，由切向应力组成的力矩对结构扭转效果的产生是很有益的。

图2 结构上下表面分布压电纤维复合材料(纤维0°铺设)的示意图Fig.2 Sketch of MFC distributed on the upper and lower surfaces of the structure (the fibers are laid at 0 degrees)

图3 结构坐标系下压电单元的应力分布Fig.3 Stress distribution of piezoelectric element in structural coordinates

下面介绍压电驱动的载荷比拟方法[13]。根据载荷比拟方法，可以对压电单元的响应分析进行有效的模拟。MFC驱动器和本体结构的厚度分别为t1和t2，长度和宽分别为l1和w1。其中，厚度t1和t2远小于l1和w1，属于平面应力问题范畴。假定等效载荷作用于压电驱动器中性面的中心，那么在对驱动器施加一对相反的电压时，能够产生的弯矩和扭矩分别为

Mw=σ1w1t1(t1+t2)

(1)

MT=σ2l1t1(t1+t2)

(2)

由压电驱动载荷比拟方法得到的驱动力矩只需施加在压电结构的边界，这是由于内部加载的力矩已全部被抵消。同时，仅需使用二维模型，大大简化了有限元模型的整体规模，尤其在处理复杂的压电结构时可使建模难度大大降低，这也是采用压电驱动载荷比拟方法的最大优势所在。

图4所示的是粘贴有MFC驱动器的柔性航天器的简化示意图，由中心刚体和柔性梁组成，是典型的刚柔耦合多体系统。o-XYZ为惯性坐标系，o-xyz为固定在中心刚体上的随体坐标系，Z(z)轴方向按照右手法则确定。本文研究单轴转动航天器，即中心刚体只考虑沿Z轴方向的转动自由度，柔性梁只考虑xoy平面内的振动。MFC驱动器沿柔性体上下表面对称粘贴。中心刚体的姿态角用θ表示，中心刚体上可以施加控制力矩Mr。柔性梁采用欧拉-伯努利梁进行建模。

图4 粘贴MFC的柔性航天器的示意图Fig.4 Sketch of a flexible spacecraft with MFC actuators

粘贴有MFC驱动器的悬臂梁的结构动力学方程可表示为

(3)

式(3)中，Mu、Cu和Ku分别为结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，u为结构位移，F为外力矢量，Kuφ是力电耦合矩阵，Kφφ是介电刚度矩阵；φ表示电势矢量；Fφ表示压电驱动力。电势φ通过施加在压电驱动器上的电压来进行控制。因此，带压电驱动的悬臂梁的结构动力学方程可表示为

(4)

使用模态离散方法，式(4)可以变换为

(5)

式(5)中，

(6)

根据哈密顿原理，可得到系统连续形式的刚柔耦合动力学方程，再结合式(5)可得到基于MFC驱动器的离散形式的刚柔耦合动力学方程

(7)

2 LQR控制算法

将式(7)简化为线性形式

(8)

则式(8)可以表示为

(9)

由式(9)可得系统状态空间方程

(10)

Kf=R-1BTP

(11)

式(11)中，矩阵P满足以下的黎卡提方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(12)

3 数值模拟及结果分析

3.1 数值算例

带压电纤维复合材料驱动器的中心刚体-柔性梁系统的参数为：柔性梁的长度为2m，宽为0.1m，厚度为0.00215m，弹性模量为70GPa，泊松比为0.3，密度为2700 kg/m3，忽略结构阻尼；中心刚体边长r0=0.3m，转动惯量为1.1664kg·m2。由于本文着重于基于MFC的航天器振动抑制方法和机理的研究，所以暂不考虑驱动器的位置优化问题，只采用一片MFC驱动器粘贴于靠近柔性梁的根部处。驱动器左端距离梁根部的长度为0.1m，其压电纤维沿柔性梁轴向方向铺设。MFC驱动器的长度为0.6m，宽度为0.1m，厚度为0.0003 m，其材料参数如表1所示，其中单位C/N表示库伦/牛顿。载荷激励施压于柔性梁的自由端p处，振动位移响应的输出点同样为p点。经计算，柔性梁的前五阶固有频率分别为0.442Hz、2.76Hz、7.71Hz、15.06Hz、24.8Hz，LQR控制器的控制参数分别为Q=diag(100)12×12、R=0.1。

表1 MFC的参数

在柔性梁自由端处施加典型脉冲激励力载荷，分别计算系统在未受控和受控后的位移响应、中心刚体的姿态角及姿态角速度。脉冲载荷的幅值为100N，作用时间为0.0005s。采用4阶龙格-库塔法，计算得到的梁自由端处的位移响应、中心刚体的姿态角分别如图5、图6所示。

图5 柔性梁自由端的开环位移响应Fig.5 Open-loop displacement response at free end of the flexible beam

图6 中心刚体的开环姿态角Fig.6 Open-loop attitude of the central rigid body

采用MFC主动控制方法对柔性航天器的弹性振动和中心刚体的姿态运动进行协同控制。为了说明主动控制的控制效果，将其结果与采用被动控制的结果进行比较，以分析将MFC驱动器应用于柔性航天器振动抑制的机理。两种控制方案都使用了LQR最优控制，并且控制参数相同。当采用主动控制时，施加在中心刚体上的Mr为零。

在分别采用MFC主动控制和被动控制后，梁自由端处的位移响应、中心刚体的姿态角及角速度分别如图7～图9所示。

在采用MFC主动控制后，施加在MFC驱动器上的驱动电压如图10所示，在采用被动控制后施加在中心刚体上的驱动力矩如图11所示。

图7 柔性梁自由端的闭环位移响应Fig.7 Closed-loop displacement responses at free end of the flexible beam

图8 中心刚体的闭环姿态角Fig.8 Closed-loop attitude angles of the central rigid body

图9 中心刚体的闭环姿态角速度Fig.9 Closed-loop attitude angular velocities of the central rigid body

图10 施加在MFC上的驱动电压Fig.10 Driving voltage applied to the MFC actuator

图11 施加在中心刚体上的驱动力矩Fig.11 Driving moment applied to the central rigid body

3.2 结果分析

此算例中柔性梁与中心刚体的转动惯量之比(即柔性比)为2，即为典型的柔性占优的航天器。从图7可以看出，采用MFC主动控制，位移响应在1.8s即可收敛到0，而采用被动控制在5s时才能收敛。由于MFC驱动器的控制频带比较宽，对于由复杂外界激励引发的高频振动也能较好地进行抑制，而被动控制方法对高频振动的抑制效果较差。在采用被动控制时，即使在5s时仍然存在微小的高频振动。针对中心刚体的姿态角可以得到同样的规律，如图8所示。从图9可以看出，采用MFC主动控制的姿态角速度可以更快地收敛到0，说明其姿态稳定性更强。图10是采用主动控制时施加在MFC上的驱动电压。压电驱动载荷比拟方法可使压电结构的动力学建模难度大大降低，在处理复杂的航天器压电结构时尤其具有显著的优势。

本文只采用1片MFC驱动器对航天器的振动进行了主动抑制。如果在航天器柔性体的表面粘贴多片经过位置优化和压电纤维铺设角度优化后的MFC驱动器，则航天器的振动抑制效果将会更好，同时中心刚体的姿态稳定性将会更高。因此，MFC驱动器在柔性航天器的挠性振动抑制中具有很好的应用前景。

4 结 论

本文研究了基于压电纤维复合材料驱动器的柔性航天器的振动抑制问题。利用哈密顿原理和压电驱动的载荷比拟方法，建立了带MFC驱动的离散形式的刚柔耦合动力学方程，采用LQR最优控制算法进行了主动控制。结果表明，使用MFC可以实现航天器挠性振动的快速抑制，并且可同时保持中心刚体姿态的稳定性，即能够实现柔性航天器挠性振动与姿态运动的协同控制。由于MFC驱动器的控制频带较宽，基于MFC的主动控制方法对于高频响应也具有较好的控制效果。针对柔性占优的航天器，采用主动控制方法相比被动控制方法在响应收敛的速度和姿态稳定性方面更具优势。本文方法在处理具有复杂柔性压电结构的航天器时可使建模难度大幅降低，具有显著的优势，更适合于工程应用。MFC驱动器在柔性航天器的动力学控制中具有很好的应用前景。本文只采用1片MFC进行主动控制，后续应考虑粘贴多片MFC，并对MFC驱动器的粘贴位置及压电纤维的铺设角度进行优化设计。