☉江苏省常熟中学 陶 冶

近年各地的高考数学试题的亮点非常多，如何把高考题整合到教学当中，更好地发挥高考题的作用呢？本文选择2017年全国卷Ⅰ文科20题和全国卷Ⅲ理科20题作了一些思考，研磨并设计了微专题，为高三复习提供一些参考.

题目1（2017年全国卷Ⅰ文科20题）设A，B为曲线上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

题目2（2017年全国卷Ⅲ理科20题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

图1

一、两道题的共性

卷Ⅰ的第20题，可求出抛物线内接直角三角形的直角顶点坐标，再探求斜边的直线方程.卷Ⅲ的第20题，已知抛物线的动弦过定点（2，0），求证∠AOB=90°.两题都是抛物线内接直角三角形的问题.如果把它们推广为一般的抛物线，可得互为充要条件的逆命题.

命题1：设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px上异于原点O的两个动点，则∠AOB=90°的充要条件是动弦AB所在的直线经过定点M（2p，0）.

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