☉陕西省宁强县天津高级中学 刘金平

数学抽象是高中数学的六大核心素养之一，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.抽象函数问题对于高中生来讲，难度比较大，不易理解，主要特点是抽象函数的解析式不确定.试题常将函数、方程、不等式和数列等知识结合在一起，考查学生对函数的主要性质（如单调性、周期性、奇偶性和对称性）的理解能力、逻辑推理能力和抽象思维能力，养成从特殊到一般，从具体到抽象的解题思维习惯.

一、运用函数性质解决问题，培养学生数学抽象概括能力

例1设（fx）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意的x1，x2∈]，都有（fx1+x2）=（fx1）·（fx2），且（f1）=a＞0.

（2）证明：（fx）是周期函数；

分析：（1）这是根据题干条件求特殊值的问题，需要把1拆成，这样就可以直接利用条件进行求解；

（2）要利用图像的对称性找到对应关系并结合条件就能证明；

解析：（1）因为对于任意的x，x∈]，都有（fx+121x2）=（fx1）·（fx2）成立，

（2）证明：由题意可知，y=f（x）的图像关于直线x=1对称，故可得f（x）=f（2-x），x∈R.又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，所以f（-x）=f（2-x），x∈R.将上式中的-x用x替换，得到f（x）=f（x+2），x∈R，

则由周期函数的定义可知f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个正周期.

（3）由（1）知f（x）≥0，x∈［0，1］，

由（2）知（fx）是以2为周期的周期函数，因此，an=

评注：该题主要考查学生对函数的概念、图像，以及奇偶性、周期性和对称性等重要性质的理解能力，以及递推数列等基础知识的运用能力；考查运算能力、数学抽象能力和逻辑推理能力.关键是要紧紧抓住题干条件f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）进行适当变形寻找解决问题的突破口，巧……