安徽

数学作为高考的一门重要科目，无疑受到大家的普遍重视.老师与学生对数学都投入了大量时间，可有时事与愿违，收效甚微.考试后学生经常说“这道题我好像做过，但还是做不出来”；老师经常想“这道题，我上课讲过，又布置过作业，学生怎么还是不会？”问题到底出在哪里呢？笔者认为，这很可能与平时的教学活动密不可分，老师的教与学生的学仅就题论题，对问题停留在知识、方法表象层次上，没有挖掘，更没有体会数学问题背后的“根”，以至于做再多的题目，也只是事倍功半.那问题如何解决呢？这里笔者以对一道椭圆试题的探究为例来抛砖引玉.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设M,N是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，A(x1,0)，B(x2,0)为x轴上两点，且x1x2=2，证明：直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上.

这里只对第(Ⅱ)题的解法进行探讨.

解法1(通性通法，少思多算)：如图所示，令M(s,t)，则N(s,-t).

=1

=右边，

故方程成立，即直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上.

【点评】这里证明“直线MA,NB的交点P仍然在椭圆E上”，直接利用直线MA,NB的方程求出交点P的坐标，验证坐标满足椭圆E的方程.“思路很自然，运算有点繁”，计算过程中出现了4个未知数s,t,x1,x2，需要利用椭圆方程进行消元，利用已知条件x1x2=2化简，最后还有3个未知数却刚好可以整体消去，让人觉得不可思议.那么计算可以简化吗？

解法2(构造转化，多思少算)：题目中的条件“x1x2=2”的结构特征会让你联想起什么？在解法1中，直线MA,NB的方程结构会让你有何想法？

令P(x0,y0)，由解法1知

【点评】本解法注意到已知条件“x1x2=2”的结构特……