广东

近期笔者在为学生解惑的过程中常遇到与切线有关的问题，有求函数图象的切线方程，也有求圆锥曲线的切线方程.在指导学生解答2018年全国卷Ⅲ文科第21题的过程中，除了遇到求函数图象的切线方程之外，还发现了利用曲线切线不等式的解题方法，此解法既为解决函数与导数的综合考题开辟了新的解题途径，也实现了复杂的解题过程简单化.由于切线问题以各种形式频繁出现于高考试题之中，所以深入钻研高考试题中常见的切线问题是十分必要的.

一.高考对切线问题的考查

为了掌握高考对切线问题的考查力度和考查形式，笔者对2016至2018年全国卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ的文、理科试卷进行了统计汇总成下表.从表格可以看出，各地每年的高考试卷都重视对切线问题的考查，而且考查力度有不断加大的趋势，2018年更为明显.

近三年全国高考卷中考查切线问题的试题分布

二.函数图象的切线问题

1.求函数图象的切线方程

【例1】(2018·全国卷Ⅰ·文6理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

( )

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

解析：由于f(x)为奇函数，所以a-1=0，解得a=1，则f(x)=x3+x，f(0)=0.又由于f′(x)=3x2+1，则f′(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x，则正确的选项为D.

【例2】(改编题)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)过点(1,2)的切线方程为________.

综上所述，曲线y=f(x)过点(1,2)的切线方程为4x-y-2=0或7x-4y+1=0.

【评注】例1既是2018年全国卷Ⅰ文科第6题，也是理科第5题.考查的是求函数f(x)图象上指定点(x0,f(x0))处的切线方程，解决方法也不难，就是先求函数f(x)在指定点处的导数f′(x0)，得到切线斜率，然……