杨桂芳, 孟 伟, 卢家宽

(1. 广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541000;2. 云南民族大学 数学与计算机科学学院,云南 昆明 650500)

0 引言

设G是有限群.F表示一个非空的群类,δF(G)表示群G的非子群的共轭类数. 显然,δF(G)=1 当且仅当G是极小非F-群(G非F-群, 但G的每个真子群皆为F-群). 关于极小非F-群的研究已取得很多经典的结果, 如极小非交换群[1]、极小非幂零群[2]、 极小非超可解群以及极小非p-幂零群. 因此研究给定数量的δF(G)有限群是一个比较有意思的问题. 特别地,当F为循环群类时已取得丰富的结果(见文献[3-7]).

本文主要关注非交换子群的共轭类数. 文中用τ(G)表示G中非交换子群的共轭类数,π(G)表示G的所有素因子的集合. 1903年, Miler和Moreno[1]给出τ(G)=1的有限群同构分类. 史江涛和张翠[8]证明了满足条件τ(G)≤3的有限群必可解, 并且决定了τ(G)=4的非可解群仅有5次交错群A5. 周志浩和郭秀云[9]给出了非交换子群共轭类个数为2的有限群的完全分类.

2015年, 孟伟[10]研究了满足条件τ(G)≤|π(G)| 的有限群, 证明了这类群必可解并得到这类群的同构分类分类. 同时决定了满足条件τ(G)=|π(G)|+1 的有限非可解群仅有A5. 后来, 文献[11]又进一步决定了满足条件τ(G)=2|π(G)|-1和τ(G)=2|π(G)|-2的有限群. 作为以上研究的继续, 本文主要研究满足条件τ(G)=|π(G)|+1 的可解群, 得到这类群的素因子个数不超过3 .

本文所涉及的所有群都是有限群, 没有特别说明的概念和术语均是标准的, 可参见文献 [12-15].

1 预备引理

引理1[1]设G是一个群,则τ(G)=1 当且仅当G同构于下列群之一:

1)四元数群:Q8;

2)亚循环群:Mn,m,p=[a,b|ap=bpm=1,ab=a1+pn-1];

3)非亚循环群:Nn,m,p=[a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1,ab=a1+pn-1];

引理2[10]令G是一个非交换的可解群,且 |π(G)|≥2, 则:

1)如果G的每个 Sylow-子群皆交换,那么τ(G)≥2|π(G)|-2;

①全面推行河道采砂可行性论证制度。在采砂权拍卖前，要全力推行河道采砂可研论证制度，保证河道采砂的科学性和合理性。

2)如果G至少有一个非交换的 Sylow-子群, 那么τ(G)≥2|π(G)|-1.

引理3[11]G是有限非可解群, 则τ(G)=|π(G)|+1 当且仅当G≅A5.

引理4{11}若G≅A5, 则τ(G)=|π(G)|+1=4.

2 主要结果

命题1设G是可解群,并且 |π(G)|≥4. 如果τ(G)=|π(G)|+1, 那么G的Sylow-子群皆交换.

证明假设G存在一个非交换的Sylow-子群. 因为G可解, 所以由引理2可知,τ(G)≥2|π(G)|-1. 另一方面, 由于τ(G)=|π(G)|+1, 故有|π(G)|+1≥2|π(G)|-1. 不等式成立迫使 |π(G)|≤3. 这与 |π(G)|≥4 相矛盾. 所以G的所有Sylow-子群皆交换.

命题2设G可解, 如果τ(G)=|π(G)|+1, 那么 |π(G)|≤4.

证明假设 |π(G)|≥5. 由命题1知,G的每个Sylow— 子群皆为交换群. 因此根据引理1知,τ(G)≥2|π(G)|-2. 另一方面, 因为τ(G)=|π(G)|+1, 所以有|π(G)|+1≥2|π(G)|-2.

定理3设G是有限群. 如果τ(G)=|π(G)|+1 时, 那么 |π(G)|≤3.

证明首先假设G非可解. 根据引理3知,G≅A5. 显然有 |π(G)|=3.

接下来假设G可解. 由命题2知, |π(G)|≤4. 假设|π(G)|=4. 此时τ(G)=5. 由命题1可知,G的每个Sylow- 子群皆交换. 令π(G)={p1,p2,p3,p4}. 则对每个pi, 可适当选取G的Sylow-pi-子群Pi使得集合{P1,P2,P3,P4}为G的Sylow系. 因此, 每个PiPj皆为G的子群.

若每个子群PiPj皆交换, 则G亦交换. 这与τ(G)=5 矛盾. 所以必存在一个形如PiPj的非交换子群. 不失一般性, 假设H=P1P2非交换. 我们声明每个PiPj({i,j}≠{1,2}) 皆交换. 若否, 假设K=PiPj({i,j}≠{1,2}) 非交换. 如果(|H|,|K|)=1, 那么K=P3P4. 这样便得到G至少拥有形如以下的非交换子群:G,H,K,HP3,HP4,KP1,KP2.

显然这些子群阶互不相同, 从而两两互不共轭. 故有τ(G)≥7. 这与τ(G)=5 矛盾. 所以(|H|,|K|)≠1. 不失一般性, 可假设K=P1P3. 这样依然可以找到G至少拥有6个非交换子群:G,H,K,HP3,HP4,KP4.故有τ(G)≥6. 又一次矛盾. 所以每个PiPj({i,j}≠{1,2}) 皆交换.

根据上述讨论可知,G=H×P3×P4. 显然,G.H,HP3,HP4皆为G的非交换子群且彼此互不共轭. 由于τ(G)=5, 所以必有τ(H)≤2.

如果τ(H)=2, 那么H有一个非交换的真子群Q. 显然,QP3与QP4也为G的非交换子群. 这导致τ(G)≥6, 与τ(G)=5 矛盾. 因此τ(H)=1.

接下来声明Pi(i=3,4) 是素数阶群. 若否, 不失一般性, 可假设 |P3|>p. 此时对P3的任一个非平凡的子群R. 显然,HR与HRP4也为G的非交换子群. 这依然迫使τ(G)≥6, 矛盾.

综上可知,G=H×Zr×Zs且τ(H)=1. 此时容易计算出τ(G)=4. 再一次与τ(G)=5 矛盾. 所以原假设不成立, 故有 |π(G)|≤3. 定理得证.