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弱s-可补子群与有限群的UΦ-超中心

2020-12-08董淑琴鲍宏伟

关键词:子群定理矛盾

宋 菊, 董淑琴, 鲍宏伟, 缪 龙*

(1.扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州 225002;2.蚌埠学院 数学与物理系,安徽 蚌埠 233030)

文中考虑的群都是有限群,所用术语符号均是标准的。 U 表示超可解群系;Op(G)、Op(G)和 Op′(G)分别表示群G 的p-模子群、最大正规p-子群和最大正规p′-子群。

设G 是一个群,G 的所有幂零正规子群之积叫做G 的Fitting 子群,记作F(G);群G 的所有极小正规子群的积称为群G 的基柱,记作Soc(G);群G 的所有拟幂零正规子群之积叫做G 的广义Fitting 子群,记作F*(G);G 的所有极大子群的交叫做 G 的 Frattini 子群,记作 Φ(G)。

若群 G 的主因子 H/K≤Φ(G/K),其中 Φ(G/K)表示商群 G/K 的 Frattini 子群,则称 H/K 是 G 的 Frattini主因子。又若[H/K](G/CG(H/K))∈F,其中 F为饱和群系,则称主因子 H/K 在 G 中是 F-中心的。若 H≤ZF(G),则称子群H 在G 中是F-超中心的。G 的所有非Frattini 主因子是F-中心的正规子群的乘积,称为G 的FΦ-超中心,记作 ZFΦ(G)。 特殊地,F 为超可解群系时,称为 G 的 UΦ-超中心,记作 ZUΦ(G)。

设 G 是一个群,H、K 是 G 的子群,则 HG表示 G 中含于 H 的最大正规子群;对于 g∈G,规定 Hg=g-1Hg,也叫作H 在g 之下的共轭变形。 若Hg=H,则称元素g 正规化H,而称G 中所有正规化H 的元素的集合NG(H)={g∈G|Hg=H}为 H 在 G 中的正规化子。又若元素 g 满足对所有 h∈H 恒有 hg=h,则称元素 g 中心化 H,而称 G 中所有中心化 H 的元素的集合 CG(H)={g∈G|hg=h,∀h∈H}为 H 在 G 中的中心化子。 规定 Z(G)=CG(G),并称之为群 G 的中心。 设 G 是群,M⊆G,则称 G 的所有包含 M 的子群的交为由 M 生成的子群,记作〈M〉。 设 N 和 A 为群 G 的子群,且 N 为 G 的正规子群,若 N∩A=1,G=NA,则称 G 为子群 N 与 A 的半直积,记为G=[N]A,这些概念和符号参见文献[1-2]。

2009 年,L.A.Shemetkov 和A.N.Skiba[3]提出了G 的FΦ-超中心概念,他们利用弱s-置换准素子群研究了FΦ-超中心的结构。 2014 年,汤菊萍和缪龙[4]利用子群的M-可补性质探究了有限群的FΦ-超中心的构造。 随后高百俊和汤菊萍[5]以及鲍宏伟和张佳[6]分别利用子群的F-可补性质、Mp-嵌入性质进一步描述了有限群的FΦ-超中心的结构。 众所周知,对于饱和群系F,如果群 G 有正规子群 E,使得 G/E∈F 且E≤ZFΦ(G),则 G∈F。 这也是 FΦ-超中心对群的结构影响。另一方面,在 2007 年,A.N.Skiba[7]引入弱 s-可补子群的概念,它是c-可补子群的推广。之后,许多学者对这一概念进行了研究[8-10]。 作为上述工作的继续,笔者利用弱s-可补准素子群对超可解群系的超中心结构进行研究,并推广了文献[11]的定理结果。

1 预备知识

定义1[7]设G 是群,H≤G。

(1)对于 G 的任意子群 X,如果 HX=XH≤G,则称H 是 G 的拟正规子群。 此外,若对于 G 的任意 Sylow子群 S,有 HS=SH≤G,则称 H 是 G 的 s-拟正规子群;

(2)HsG表示群 G 中含于 H 的最大 s-拟正规子群;

(3)如果存在 G 的子群 K,使得 G=HK 且 H∩K≤HsG,则称子群 H 为 G 群的弱 s-可补子群。这里 K 称为群G 的弱s-补充。

为了方便起见,下面列出一些后续使用的引理。

引理1[7]设H 是群G 的子群。

(1)如果 H 在 G 中是弱 s-可补的,且 H≤M≤G,则 H 在 M 中是弱 s-可补的;

(3)设 π 是素数集,N 是 G 的 π′-正规子群,H 是 G 的 π-子群。 如果 H 在 G 中是弱 s-可补的,则 HN/N在G/N 中是弱s-可补的;

(4)如果 K 是子群H 在 G 中的弱s-补充,则 K1:=HGK 是子群H 在 G 中的弱s-补充,且有 HG≤H∩K1=HG(H∩K)≤HsG。

引理2[12]对于群G

(1)如果 X1和 X2是 G 的 s-拟正规子群,则〈X1,X2〉在 G 中也是 s-拟正规的;

(2)如果 X 是 G 的 s-拟正规子群,则对于 g∈G,Xg也是 s-拟正规的;

(3)如果 H≤G,则 HsG是包含在 H 中的 G 的唯一极大 s-拟正规子群。 特别地,NG(H)≤NG(HsG);

(4)如果 X 是 G 的 s-拟正规 p-子群,p 是素数,则 X≤Op(G)且 Op(G)≤NG(X)。

引理 3[1]设 N 是群 G 的非平凡可解正规子群。如果 N∩Φ(G)=1,则 N 的 Fitting 子群 F(N)是 G 的包含在N 中的极小正规子群的直积。

引理 4[13]设 G 是群,且 P∈Sylp(G),其中 p 是|G|的最小素因子。 如果 P 的任意极大子群在 G 中有 p-幂零补充,或者有弱s-补充,则G 是p-幂零的。

引理5[14]设N 是群G 的子群,G 的广义Fitting 子群F*(G)是G 的唯一极大正规拟幂零子群。

(1)如果 N 正规于 G,则 F(N)=N∩F(G)且 F*(N)=N∩F*(G);

(2)如果 G≠1,则 F*(G)≠1;事实上,F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G)))/F(G);

(3)F*(F*(G))=F*(G)≥F(G);如果 F*(G)是可解的,则 F*(G)=F(G);

(4)CG(F*(G))≤F(G);

(6)如果 K 是 G 的包含于 Z(G)的子群,则 F*(G/K)=F*(G)/K。

引理 6[11]设 P=R1×…×Rt是 G 的正规 p-子群,R1,…,Rt是 G 的极小正规子群。 若 P 的每个极大子群在G 中是弱 s-可补充的,则任意 Rj(j=1,2,…,t)均为素数阶。

引理7[11]设G 是群,如果F*(G)的任意Sylow 子群的极大子群在G 中是弱s-可补充的,那么G 是超可解的。

引理8[15]设F 是群系,群G 有可解正规子群E。 若 F(E)在G 中是FΦ-超中心的,则E 在G 中是 FΦ-超中心的。

2 主要结果

定理 1设 E 是群 G 的正规子群,p 是|E|的极小素因子,P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个在 G 中没有 p-幂零补充的极大子群在 G 中是弱 s-可补充的,则 E/Op′(E)≤ZUΦ(G/Op′(E)),即 E/Op′(E)在 G/Op′(E)中是UΦ-超中心的。

证明假设定理不真,(G,E)为|G||E|极小的反例。

(1)Op′(E)=1。

若 Op′(E)≠1,由引理 1 的(3),假设适用于(G/Op′(E),E/Op′(E)),同样也适用于(G,E),矛盾。

(2)E=P。

由引理 4,E 是 p-幂零的,由(1)可知,Op′(E)=1,因此,E=P。

(3)存在G 的一个阶为p 的极小正规子群。

如果 P∩Φ(G)≠1,则可选择 G 的一个极小正规子群 L,L≤P∩Φ(G)。 由引理 1 的(2),(G/L,E/L)满足定理条件。 又由 L 的性质和 Op′(E)=1,知 Op′(E/L)=1。 所以,E/L≤ZUΦ(G/L),由 L≤Φ(G),可得 E≤ZUΦ(G),矛盾。 故可以假设 P∩Φ(G)=1。 由引理 3,P=R1×…×Rt,R1,…,Rt是 G 的包含在 P 中的极小正规子群。 从而存在 G 的极大子群 M 使得 G=RiM 且对任意 Ri∈{R1,…,Rt},Ri∩M=1。

设 Mp是 M 的 Sylow p-子群;Gp:=PMp∈Sylp(G)且 P∩Mp=P∩M=R。 此外,令 P1是 Gp的包含 Mp的极大子群,P2:=P1∩P。 显然,P2是 P 的极大子群,P2∩M=P1∩P∩Mp=P∩Mp=R,因此,P2=R×(P2∩Ri),(P2)G=R。 再由 Gp正规化 P1和 P,可得由引理 2 的(3)和(4),知(P2)sG被 Op(G)Gp=G 正规化。 因此,可得(P2)sG=(P2)G=R。

假设P2在G 中有 p-幂零补充子群 N,则 G=P2N=P2K=PK,其中 K=RN。假设 K=G时,R≠1,若否,由于 G=RiM,Ri∩M=1。 则|Ri|=|G:M|为 p-群,又因为 G=K=N,则 G 为 p-幂零群,因此|G:M|=p,从而|Ri|=p。 G/R=K/R≅N/(N∩R),再由 M/R 是 G/R 的极大子群,可得|Ri|=|G:M|=|G/R:M/R|=p。

设 K<G,K1是 G 中包含 K 的极大子群,则由和G 在P/R≅Ri上的不可约作用,可得P∩K1=R,这意味着|P2|=|P|,矛盾。 因此,P2在G 中没有p-幂零补充,由定理的假设,P2在G 中是弱s-可补的,据引理6 知|Ri|=p。

(4)最终的矛盾。

由(2)和(3)可知,E 为 p′-群且 G 中存在的极小正规子群 L,使得|L|=p。由于假设对(G/L,E/L)仍然成立,所以 E/L≤ZUΦ(G/L)且|L|=p,从而 E≤ZUΦ(G)。

最终的矛盾完成文中的证明。

推论 1设 E 是群 G 的正规子群,p 是|E|的极小素因子,P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个极大子群在 G 中是弱 s-可补的,则 E/Op′(E)≤ZUΦ(G/Op′(E)),即,E/Op′(E)在 G/Op′(E)中是 UΦ-超中心的。

推论 2设 E 是 G 群的正规子群,p 是|E|的极小素因子,P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一个极大子群在 G 中是 c-可补的,则 E/Op′(E)≤ZUΦ(G/Op′(E)),即,E/Op′(E)在 G/Op′(E)中是 UΦ-超中心的。

定理2设X≤E 是群G 的正规子群, 若X 的每一个非循环Sylow 子群P 的任意极大子群在G 中是弱s-可补的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*(E),则 E≤ZUΦ(G),即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

证明情形1X=E。

如果 V 是 E 的非平凡正规 Hall 子群,则 V 在 G 中是正规的。 这个假设也适用于(G,V)和(G/V,E/V),有V≤ZUΦ(G),E/V≤ZUΦ(G),因此,E≤ZUΦ(G)。接下来考虑的 E 只有平凡正规 Hall 子群,由定理 1,对于|E|的极小素因子 p,有 E/Op′(E)≤ZUΦ(G/Op′(E))。 由于所有的 p-幂零(超可解)群类是饱和群系,即 E/Op′(E)是 p-幂零的,进而 E 是 p-幂零的,所以 E 是 p-群,由定理 1 知,E≤ZUΦ(G),矛盾。

情形 2X=F*(E)。

显然 F*(E)≠E,对 F*(E)利用情形 1 做归纳,易知 F*(E)≤ZUΦ(G),即 F*(E)可解,由引理 5,有 F*(E)=F(E)≤ZUΦ(G)。 此时,若 E=G,据引理 7,知 E 为超可解群,从而 E≤ZUΦ(G)。 若 E<G,再次利用引理 7,得到 E为超可解,则 E 为可解,又据归纳知 F(E)≤ZUΦ(G),据引理 8 得,E≤ZUΦ(G)。

推论3设X≤E 是群G 的正规子群,若X 的每一个非循环Sylow 子群P 的任意极大子群在G 中是c-可补的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*(E),则 E≤ZUΦ(G),即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

论文主要推广了文献[11]的定理2.2,得到了E 层面下的超中心构造,下一步计划将相应的结果推广到其他一般群系中。

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