林碧姬

（福建省霞浦一中，福建霞浦 355100）

引 言

如今，在日常教学过程中，教师会提供很多不同类型的数学题让学生解答，学生花费了相当多的时间和精力答题，做的题目虽多，效果却不理想，解题能力没有得到显著提高[1]。究其原因，主要是学生就题解题，没有反思，缺少体会，无法内化。因此，笔者从以下三个方面的反思浅谈学生解题能力的培养。

一、反思解读题目条件，提高学生的审题能力

解答数学题，特别是解一道比较复杂的数学问题时，分析已有条件，挖掘隐含条件，联想相关知识点，联想数学思想非常重要。如例1 所示。

例1：已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,2)。

（2）抛物线上任意不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)且当x1＜x2＜0时，（x1-x2）(y1-y2）＞0；当 0 ＜x1＜x2时，（x1-x2）(y1-y2）＜0，以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，△ABC有一个内角为60°。求抛物线的解析式。

这是2018年福建省中考数学试卷的最后一题（部分），许多平时比较优秀的学生都止步于第（2）题的解答。通过和他们的交流，笔者发现他们对条件“抛物线上任意不同两点 ),(11yxM， ),(22yxN，且当x1＜x2＜0 时，（x1-x2）(y1-y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1-x2）(y1-y2）＜0”不理解。确实，在初中阶段很少出现这样的表述方式，学生没有经验，条件就变得抽象了。那么就应逐条分析条件：由x1＜x2＜0，可得（x1-x2）(y1-y2）＞0 中 的x1-x2＜0， 那 么（x1-x2）(y1-y2）＞0要成立，就有y1-y2＜0，此时条件就转化为“若x1-x2＜0，则有y1-y2＜0”，条件明晰：若x1＜x2＜0，则有y1＜y2。分析到此，由另一个条件“当0＜x1＜x2时，(x1-x2）(y1-y2）＜0”，同理可得：若0＜x1＜x2，则有y1＞y2。组合推导出来的两个小结论说明了——在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x的增大而减小。至此，条件就以学生熟悉的方式呈现了。结合条件联想二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质的相关知识点，或画出草图，可得：此抛物线开口向下，y轴为对称轴。其解析式为：y=ax²+2[已有直接条件A(0，2）]。

此时，还有系数a未确定，显然还需要一个条件。目标条件：“以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，△ABC有一个内角为60°”。解读条件，获取信息：由“对称性与60°内角”得△ABC是等边三角形；由“OA为半径”得圆O的半径为2。显然，所给的条件是图形信息，要求解的是系数a，联想平时的解题经验，应该应用“图形与坐标”这部分知识来解决。因此，先画出草图如图1所示，分析图形，找出与抛物线上点C的坐标有关系的线段，利用半径为2 这个已知线段，60°已知角这些条件构建Rt △OCD，通过解直角三角形得线段、得点坐标，从而确定函数解析式。

图1

反思分析题目条件解决问题的过程如下。（1）对题目条件的使用，要不断提问，这个条件告诉我们什么信息？若干条件组合又告诉我们什么结论？虽然我们的结论未必能立刻解决问题，但这样的分析和思维犹如抽丝剥茧，不断地按照“条件—结论”开展，直至解决问题。（2）对题目条件的使用，就是不断进行“文字语言、符号语言、图形语言”三种语言互换的过程。（3）对题目条件的使用，要善于联想相关知识点，善于结合一些思想方法突破条件，如有些学生对条件“当x1＜x2＜0 时，（x1-x2）(y1-y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1-x2)(y1-y2)＜0”的探究就是通过取足够多的特殊点画图来获得结论的。（4）根据题目条件，要勤于画出草图，利用图形直观地解题，解题效果将事半功倍。

二、反思解题过程，提升学生的思维水平

（一）总结解题方法和要点

随着数学学习的深入，学生解题也达到了相应的“量”，如果进行反思，就会发现某些问题具有共同特征。如例2 所示。

例2：（1）若 关 于x的 方 程(k-2018)x- 2016=6 -2018(x+1)的解是整数，则整数k= _________。

（2）关于x的分式方程的解为非负数，则k=________。

（3）当k为何值时，关于x的不等式x-k＞0 恰有两个负整数解？

这类问题的特征是给出方程（或不等式）的解（或解集）的条件，反过来求字母系数k 的值（或取值范围）。而这类问题的解答模式往往是先把字母系数k 当成已知数求出方程（或不等式）的解（或解集），再利用解（或解集）满足的条件构建字母系数k的方程（或不等式）来解决问题。

有些几何解答题思想方法的呈现方式和解题策略亦有共同特征。如例3 所示。

例3：如图2所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE。

求证：BD=CE

回顾解题的思维过程：根据问题的条件和结论，分析图形时发现了组合得到新图形△ABD和△AEC的元素（边和角）之间有关系，从而发现两个三角形全等，再利用全等的性质使命题得证。这样要获得两条线段或两个角相等的结论，可以尝试探究线段（或角）所在的两个三角形是否全等，如果能证得全等，问题迎刃而解。所以，这类平面几何题通常归结为求证两个三角形全等的问题。

可见，解数学题时，如果对问题进行识别，分析其特征，并能准确地加以归类，那么便能快速找到思路，使用相应的方法解决问题，使学生的解题能力发生“质”的变化。当然，要形成这种正确且迅速的辨认能力，除了需要“见识”相应量的题目外，还需要养成回顾、反思的习惯，通过“有心”地观察、类比，再辅以推导，最终概括形成某种数学模式和图形。

图2

（二）克服思维定式

例4：在平面直角坐标系中，当2≤x≤4 时，二次函数y＝x2-8x+c和一次函数y＝-x+6 图像有且只有一个公共点，求c的取值范围。

∵函数y=x²-8x+c与y=-x+6 的图像只有一个交点

∴Δ=73-4c=0

显然，学生只解答出了一种情况，产生这种错误的原因是受到了求解“抛物线与直线的交点”的思维的影响，是思维定式的消极反映。学生没有发现题目变化，对问题分析不够透彻，只是机械套用原有的解题方法和经验，阻碍了问题的正确解决。

事实上，此题还有另一种情况：抛物线y=x²-8x+c 与直线y=-x+6 有两个交点，只是其中一个交点在2≤x≤4 范围之外而已，所以还有后续解答：

若函数y=x²-8x+c与y=-x+6 有两个交点，其中一个在2≤x≤4 范围内，另一个交点在2≤x≤4 范围外，则△=73-4c＞0，解得

对于y=-x+6，当x=2 时，y=4；当x=4 时，y=2，

又∵当2≤x≤4 时，y随x的增大而减小，

若y=x²-8x+c与y=-x+6 有两个交点在2≤x≤4 内有一个交点，

则当x=2 时，y≥4；当x=4 时y≤2，

因此，在解题中，一方面要注意利用原有的知识、方法与经验，类比相似问题，快速寻找解题思路；另一方面又要细心发现题目间的差异，辨认清晰，进行更深入的分析，克服思维定式的消极影响，从而提高解题能力。

三、反思解题规律，训练思维灵活性

图3

例5：如图3所示中的图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角。

（1）如果∠DOC=28°，那么∠AOB的度数是多少？

（2）找出图（甲）中相等的角，如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？

（3）若∠DOC变小，则∠AOB如何变化？

（4）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角。

这是北师大版七年级（上）第四章课后的一道数学题。解题后，对此题进行反思，笔者认为十分有意义。首先，它是以连续小题形式出现的比较早的几何题；其次，各小题的呈现方式由浅入深、前后连贯，易于发展学生的思维能力；最后，题目达到了一定的思维量，若学生能够体会题目的设计意图，可为解决连续小题类型的综合题积累经验，养成思维灵活性。

分析题目可知：(1)题有多种解法，既增强了学生的识图能力，又培养他们的发散思维；(2)题的探究是从特殊到一般，推广题目，又为(4)题的解答做出铺垫；(3)题的解答，既可以建立∠AOB与∠COD之间的关系式，初步感知函数思想，又可以将∠AOC绕点O旋转，通过动手操作直观感受图形；(4)题考查学生能否利用已探究出的结论将(乙)图转化成(甲)图，转化思想在数学解题中的应用非常广泛。

除了要围绕具体题目进行反思外，也要反思解题的大方向，以便于找到解题规律。

结 语

学生在学习数学时如果能养成解题后反思的习惯，无疑对提高数学解题能力具有重要意义。当然，学生解题能力的培养不是一蹴而就的，而是在学习过程中逐步建立起来的，教师应随时关注学生解题后的反思。