范秀明

数学广角是人教版小学数学教材中新增设的单元，目的是向学生渗透一些数学思想方法，进一步用这些方法解决数学和生活中的问题。很多教师喜欢这部分具有挑战性的教学内容。在一次研讨活动中，王老师进行了“鸡兔同笼”的教学尝试。“鸡兔同笼”是人教版四年级下数学广角的内容，这一课的知识目标是让学生了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的思想，掌握用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。下面是王老师本课重点内容的教学过程：

一、情境导入

师：同学们，今天我们在这里上一节数学课。我们共同研究一道古代数学趣题好吗？这道趣题来自于大约一千五百多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。 （板书课题：鸡兔同笼。）

出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

师：这道题是以文言文的方式表述的，雉就是野鸡，题目是说笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

二、探究新知

1.初步尝试。

师：从题中你知道了什么？要求什么？

同学们想一想，猜一猜鸡和兔各有多少只？

2.化繁为简。

师：数据大，不好猜，我们应该怎么办？这样，我们把数字改小些，先从简单的问题入手。 （课件出示例1。）

师：从题中你们能获取哪些信息？和生活常识联系在一起，你还能说出哪些信息？

3.猜想验证。

师：有了这些信息，我们先来猜猜，笼子里可能会有几只鸡？几只兔？猜测需要抓住哪个条件？

师：是不是抓住这个条件就一定能马上猜准确呢？

师：那就需要验证一下我们的猜测。验证时该怎么想？

师：好，那我们就用这张表格来辅助进行猜测和验证。请大家来填一填，看看谁能又快又准确地找出答案来，开始。

（学生汇报。）

小结：这个方法挺好，能帮我们解决鸡兔同笼的问题，我们把这种方法叫做列表法。（板书：列表法。）

4.尝试研究。

师：老师刚才发现，同学都完成得非常快，很了不起！那么，用列表法解决“鸡兔同笼”问题你觉得怎么样呢？

师：說得非常好，那我们就来尝试着研究一个更简洁的方法吧。若想琢磨方法，得先琢磨什么（题目内容或已知条件）——笼子里（8）只动物，分别是（鸡）和（兔），共有26 条腿，鸡有2条腿，兔有4 条腿。

（1）随口令去想象：

这样，同学们随着我的口令边想象边动作：兔站起来，举起前腿。想：此时，笼子里上面数（）头？下面数（）腿？题中有（）腿？腿多了少了？少多少？哪儿去了？每只兔子举起（）腿？那笼子里有（）只兔站起来？兔是5只，鸡（）只？

（学生第一遍没有都理解，教师反复几遍带领学生通过想象配合动作理解。）

（2）这个方法简洁吗？老师说明白了吗？谁想再说一遍？

（3）小组交流、汇报：列出数学算式。 （板书。）

5.尝试解决。

用这个简洁、快速的方法，尝试解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。

学生合作探究、交流汇报，列出数学算式。（课件。）

6.数形结合，理解假设法。

师：刚才我们用假设兔子站起来的方法，解决了“鸡兔同笼”问题，感觉同学们棒棒的！我们能不能换一种假设情况，再尝试一下。

（1）假设全是鸡。

（2）假设全是兔。

（3）提出假设法概念。

师：刚才我们通过几种假设情况来解决了“鸡兔同笼”问题，我们把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法。（板书：假设法。）

可以看得出来在上面的设计中借鉴传统的方法的痕迹还是很明显的，课堂效果也并不是十分理想，学生在假设法的学习上明显感到了迷茫和吃力。一位小学数学教育专家说过：“在小学数学教学中，一个情境要承载多个教学任务。”我想这样做的根本目的就是最大程度地提高课堂效率。在这个案例中，教师教学表格法的时候有这样两种用意：一是让学生掌握用表格法解决鸡兔同笼的问题;二是通过感受表格法解决此类问题的繁琐，从而引出一种更为简洁的方法即假设法的内在需求，形成一个一般性策略 。可以说该案例中表格法的学习有着教者的良苦用心，确实承载多个教学任务。但是为什么课堂效果不理想呢？问题究竟出在哪里？我把这一疑问带到了“国培计划——网络研修工作坊主持人第二次集中培训”的武汉现场，在打磨示范案例的环节就这个问题与同行们进行了交流。下面是我们与来自河南省漯河市源汇区小学数学教研员邢燕老师共同打磨后的课堂纪实：

一、情境导入

师：同学们，今天我们在这里上一节数学课，共同研究一道古代数学趣题好吗？这道趣题来自于大约一千五百多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。 （板书课题：鸡兔同笼。）

（出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？）

师：哪位同学知道这段话的意思？

（生尝试解释。）

师：这道题是以文言文的方式表述的，雉就是野鸡，题目是说笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

二、探究新知

1.初步尝试。

师：从题中你们能获取哪些信息？

师：同学们猜一猜鸡和兔各有多少只？

生：我猜有15只鸡，20只兔。

师：谁来帮他验证一下？

生：15×2+20×4=110（条），和题目中给的共有94条腿这个条件不符，所以不对。

生：我猜有18只鸡，17只兔。

师：同学们快来口算一下，看看对不对。

2.化繁为简。

师：通过上面的猜测，你们有什么感觉？数据大，凑在一起比较困难，我们应该怎么办？今天老师给大家介绍一种思想方法，我们先从简单的数据入手（以8只动物，26条腿为例）。

师：你们现在手里有一个学习单，让我们就用这张表格，来辅助我们的猜测。边填边思考，随着鸡和兔的只数的调整，脚的只数发生了怎样的变化。

学生填表后汇报交流：

生1：鸡每增加一只，兔子减少一只，脚的总数会增加两条。

生2：我发现鸡的只数减少3只，兔的只数增加3只。

师：那这时候腿的条数有什么变化？为什么？

生：这时候腿会增加6条。因为一只兔比一只鸡的腿数多两条，多一只兔子就会多两条腿，增加3只兔子就会增加6条腿。

3.猜想驗证。

用表格探究例题1中的情况。

小结：这个方法挺好，能帮我们解决鸡兔同笼的问题，我们把这种方法叫做列表法。（板书：列表法。）

4.尝试研究。

师：每次做题，不是都会有现成的表格，而一只一只调整会很麻烦，观察表格中的数据，你们有什么好办法解决这个问题吗？

学生讨论汇报。

生：我根据列表法看到，当全部都是鸡的时候，腿共有16条，但是题目中共有26条腿，少了10条，因为我把兔子都看成了鸡，一只兔子少看了2条腿，少了10条腿，就是5只兔子少的，所以兔子5只，鸡的只数就是8-5=3只。

师：你们听懂了吗？谁再来说说这种方法？

师：这种方法你们能够通过算式表达吗？

（学生自己列式计算，通过展台展示。）

师：你们还有其他方法吗？

（学生展示假设都是兔子的情况。）

师：刚才我们通过几种假设情况来解决了“鸡兔同笼”问题，我们把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法。（板书：假设法。）

对比第一次和第二次实践最大的改变在哪里？在第一次尝试中，为什么学生会对假设法难以理解？事实上任何知识如果没有“前情”上的准备，靠学生的自主探究都是很难发现和完成的。如果像第一个案例，在教师的牵引下去理解假设法，缺少一个使学生的思维到达最近发展区的支架，学生对于假设法的理解就好比是空中楼阁，他们很难从根源上理解，这个时候思维处于被动的状态，学习也就变成了效仿，学生做不到举一反三，更不能实现用假设法解决生活中问题的根本目的。即如果列表法的存在及研究只是让学生感觉到这是解决鸡兔同笼问题的一种方法或者仅仅是因为方法的烦琐引出另一种方法做铺垫的作用，那么这节课重难点内容的探索注定就是要失败的。

通过观察可以发现在第二次尝试中我们做的恰恰就是沟通了列表法和假设法的联系。经过研究我们发现这两种方法并不是孤立的、割裂开来的，学生对假设法的理解和发现必定要建立在表格法的基础之上，这其实是学习表格法的又一个重要的教学任务。在第二个案例中我们可以看到教师使用了两个策略来引导学生建立两种方法的联系：一是通过学习表格方法时“随着鸡和兔的只数的调整，脚的只数发生了怎样的变化”等问题作为铺垫;二是通过关键性语言的引导：“每次做题，不是都会有现成的表格，而一只一只调整会很麻烦，观察表格中的数据，你们有什么好办法解决这个问题吗？” 因为有前面关于随着鸡和兔的只数的调整，脚的只数变化的讨论作为铺垫，当学生再进一步观察表格，就会发现：一只兔子比一只鸡的腿数多两条，多一只兔子就会多两条腿，增加n只兔子就会增加2n条腿。这正是假设法解决问题的关键点。正是因为有了这种认识做基础，学生再理解和掌握假设法就水到渠成了。

数学广角的内容以前大多出现在“奥数”中，对学生的思维能力有很大挑战，所以教材往往呈现的方式是直观的。在教学过程中，如何从直观到抽象，如何提炼出一般性策略，这个往往取决于教师对教材和知识的把握以及策略方法的使用。而抽象方法的过程过于直接，忽略学生的理解和体验往往会事倍功半。所以在解决数学广角的问题时，就要求教师设计由浅入深的活动，化繁为简，积累体验;找准知识、方法之间的联系，引导学生主动探索，发现规律，领悟思想，最终达到解决数学和生活中问题的目的。

（作者单位：萝北县教师进修学校）

编辑/魏继军