刘陈林，王长柏，章大业，崇庆高

(安徽理工大学土木建筑学院，安徽 淮南 232000)

岩石流变力学由岩石力学演变而来的一个重要的分支学科，也是岩石力学学科中的重点和难点。我国自陈宗基院士提出流变学理论，并将其纳入岩石力学之中以来，许多专家学者都对岩石的流变学进行了更广泛更深层次的研究，并取得了丰硕的研究成果。目前，对岩石流变特性的相关研究，大多都是以岩石的本构模型为主，结合岩石的蠕变实验，对岩石的流变特性进行分析。文献[1]通过对绿片岩三轴蠕变实验数据进行分析，以广义Bingham蠕变模型为基础，引入非线性函数和损伤，建立了绿片岩的蠕变损伤本构关系。文献[2]将损伤体与Burgers元件模型串联构建能模拟岩石蠕变全过程组合模型，推导其本构方程，并通过拟合求得其模型参数。文献[3]以伯格斯模型为基础，基于Lemaitre原理建立了改进的伯格斯非线性蠕变损伤模型，并以砂岩为研究对象进行试验，验证了所建模型的合理性。文献[4]提出一种改进的分数阶黏滞体和一个能够描述岩石加速蠕变的非线性黏滞体，将其与基本弹性体及塑性体组合，建立一个新的4元件黏弹塑性蠕变模型，并给出其蠕变方程。文献[5]研究了软弱夹层中的石灰岩的流变特性，并使用了指数型函数来描述石灰岩初始蠕变阶段和等速蠕变阶段的流变特性。文献[6]对深部饱水岩石的流变规律进行蠕变试验分析，确定了其流变力学模型，并对该流变模型进行参数辨识，确定流变模型的相关参数。文献[7]通过增加一个损伤参数和一个表征加速蠕变阶段的非线性方程来获得改进的Burgers模型，并通过蠕变试验验证了其合理性。文献[8]通过对绿片岩三轴蠕变实验数据进行分析，构造一个非线性函数，并将其引入广义Bingham蠕变模型中，得到一个新的非线性蠕变模型。文献[9]考虑到Burgers模型对模拟岩石蠕变的不足，用粘塑性元件替换Burgers模型中的粘性元件，构建了一个非定常的Burgers模型，并通过分析证明该模型能很好地描述岩石蠕变的整个过程。文献[10]在对试验数据进行深入分析的基础上，选用Burgers模型对试样的蠕变特性进行了描述。文献[11]参照改进的西原正夫模型，建立了参数非线性蠕变模型。文献[12]将西原模型与Bingham模型及Kelvin模型串联，建立了一个非定常西原黏弹塑性流变模型，能够完整地反映岩石蠕变的全过程。

本文在Bingham模型中引入一个非线性函数和一个弹塑性损伤体，用以描述岩石蠕变过程中的非线性特征，并推导出整个模型的蠕变本构方程。通过将其与岩石蠕变实验数据拟合求得相关参数，并将该模型的理论曲线与岩石蠕变试验曲线进行对比分析，探究该模型对于描述岩石蠕变全过程的准确性。

1 流变模型的建立

1.1 Bingham模型

如图1所示，Bingham力学模型是由一个粘性基本单元和一个塑性基本单元并联组成粘塑性模型后再与一个弹性基本单元串联而成的。该模型的应变随时间呈线性上升趋势，可很好地对岩石稳态蠕变过程进行描述，其本构方程为

图1 Bingham力学模型

(1)

式中：E1为弹性体H的弹性模量；η1为黏性体N的黏性系数；σ0，εve分别为应力和应变；σs为岩石的屈服应力。

易求得其蠕变方程为

(2)

1.2 蠕变损伤模型的建立

岩石的典型蠕变全过程中，除稳态蠕变阶段外，衰减蠕变阶段和加速蠕变阶段都存在非线性特征，加速蠕变阶段的非线性尤为明显，因此传统的Bingham模型无法对岩石蠕变的整个过程进行描述。所以，需要对Bingham模型进行一定的改进，来更好地描述岩石蠕变的全过程。

首先，针对岩石的衰减蠕变阶段，通过引入一个非线性函数F(t)

F(t)=1-e-kt

(3)

根据作用函数F(t)的性质可知，当k为某一特定值时，随着t增长到某一时刻时F(t)=1，之后其保持不变。因此引入非线性函数F(t)后，就可以描述岩石的衰减蠕变阶段。

然后，再考虑岩石的加速蠕变阶段。岩石的加速阶段存在明显的非线性特征，可通过在传统Bingham模型中引入弹塑性损伤体来模拟这一特征，弹塑性损伤体的力学模型如图2所示。

图2 弹塑性损伤体

弹塑性损伤体的应变εep可由式(4)确定[13]

(4)

式中：E0为弹塑性损伤体的弹性模量；α为与岩石材料有关的参数；tF为蠕变寿命，即岩石蠕变破坏时间。

根据弹塑性损伤体蠕变方程，岩石蠕变损伤并不是一直存在，只有当应力σ0的值超过岩石的屈服极限σS时，岩石的蠕变才会受到损伤，符合现有的相关试验和研究[14-15]。

将弹塑性损伤体与Bingham模型串联，从而得到基于Bingham模型的岩石蠕变损伤模型，其组合力学模型如图3所示。

图3 岩石蠕变损伤模型

根据叠加原理，则可得到该模型的蠕变方程为

ε(t)=

(5)

式中：p为岩石材料有关的参数。

为了简化上式，此处引入一个开关函数[σ]，并令

(6)

则式(6)可简化为

(7)

从式(7)可以看出，本文所建立的岩石损伤蠕变模型具有如下特征：

(1)当应力小于岩石的屈服强度，即σ0<σs时，[σ]=0，对此时的蠕变方程求导有

(8)

由式(8)可知，蠕变速度随时间增加而逐渐减小，反映了岩石衰减蠕变过程的特征；

(2)当应力大于或等于岩石的屈服强度，即σ0≥σS时，[σ]=1，则当t→tF，ε→∞且dε/dt→∞时，显然，该模型可以反映岩石加速蠕变阶段的非线性变化特征。

综上所述，相较于其他基础的岩石蠕变理论模型，本文建立的基于Bingham模型的岩石蠕变损伤模型可以更好地描述岩石蠕变的全过程，尤其是岩石的加速蠕变阶段。

2 参数的确定

本文所建岩石蠕变损伤模型中，共包含E0，E1，η1，p，k，tF，α七个参数，其中，参数tF为岩石蠕变寿命，可通过岩石蠕变实验曲线上岩石的破坏时间直接得到，其他参数则通过曲线拟合的方式来求得。

实验数据引用自文献[16]在围压为6MPa的实验条件下获得的三峡库区万州红层砂岩典型三轴蠕变全程曲线。

在本文基于Bingham模型建立的岩石蠕变损伤模型的基础上，根据最小二乘法原理，运用Origin软件的拟合功能，对引用的三峡库区万州红层砂岩蠕变全过程实验曲线进行非线性拟合，得到模型相应参数值。表1给出了所建蠕变损伤模型对实验数据进行非线性拟合所求得的所有参数。

表1 岩石损伤蠕变模型参数

将所得参数代入所建的模型的蠕变方程中，由此绘制出该模型的理论曲线，将其与试验曲线进行对比分析，结果如图4所示，该模型曲线与砂岩蠕变实验全过程曲线吻合度较高，能有效模拟砂岩蠕变的整个过程，尤其是传统Bingham模型所不能有效模拟的衰减蠕变阶段和加速蠕变阶段。

图4 实验曲线与岩石蠕变损伤模型理论曲线对比

3 参数敏感性分析与讨论

根据所推导的岩石蠕变损伤模型及其理论曲线特点，运用控制变量法，分别对参数k、α的取值大小与该模型理论曲线的关系进行分析。

图5 参数k对岩石蠕变全过程曲线的影响

图5给出了k分别取0.9、1.9、2.9，其他模型参数均按表1取值时，所建岩石蠕变损伤模型的对比曲线。对其进行分析可知，在其他参数不变的条件下，岩石的衰减蠕变速率随着k值的增大而加快，岩石的衰减蠕变时间随之减少，岩石更快地从衰减蠕变阶段进入稳态蠕变阶段。

图6 参数α对岩石蠕变全过程曲线的影响

图6给出了α分别取-0.8、-1、-1.2，其他模型参数均按表1取值时，所建岩石蠕变损伤模型的对比曲线。通过对比分析可知，在其他参数不变的条件下，α的值越小，岩石在加速蠕变阶段的蠕变速率越快，趋向破坏的时间就越短。

4 结论

(1)在深入研究岩石蠕变过程后，在Bingham模型基础上，引入一个非线性函数和一个塑性损伤体，建立了岩石蠕变损伤模型，弥补Bingham模型的不足，使其能更好地模拟岩石蠕变的衰减和加速过程。

(2)运用Origin软件中的拟合功能，以所建模型为基础，对砂岩典型蠕变全过程实验曲线进行非线性拟合，并求得相关参数；

(3)利用拟合结果，绘制出所建模型的理论曲线，并将其与实验曲线比较，结果显示该模型对岩石蠕变全过程的描述效果良好，尤其对于具有非线性特征的衰减蠕变和加速蠕变阶段，很好地弥补了Bingham模型的不足，证明了所建模型的合理性与有效性。

(4)根据所建模型的理论曲线，分别对模型中的参数k和参数α进行敏感性分析。岩石的衰减蠕变速率随着k值的增大而增大，岩石随之更快地进入稳态蠕变阶段；岩石加速蠕变速率随着α值增大而逐渐减小，岩石趋向破坏的时间随之缩短。