徐怡钧

一、通过折叠变换考查数学基础知识的运用

例1将图1所示的四边形纸片ABCD的边AD向边AB折过去（其中AD＜AB），使得点D落在边AB上D′处，折痕恰好为AC，如图2；再将点A折向点C，使得A、C两点重合，点D′恰好落在边BC上，记为D″，如图3。量得AD=7，AB=9，∠DAB=60°，则四边形纸片ABCD的面积为____ 。

图1

图2

图3

图4

【解析】关于图形的折叠问题，我们只需要将变换后的图形还原，同时找到折痕并进行标识，利用轴对称的性质找出相等的量即可。

将图3还原后得到图4，由题意，AC和BE是折叠时的折痕。第一次对折可以发现，AC是∠DAB的平分线，即∠DAC=∠BAC；第二次对折可以发现 BA=BC，因此∠BAC=∠BCA，从而∠DAC=∠BCA，从而得到AD∥BC。由于AD＜AB，BA=BC，所以AD≠BC，故四边形ABCD是梯形。过点B作AD边上的高BF，利用三角函数的知识可求得BF为，所以四边形ABCD的面积为（7+9）=36

【点评】折叠时，重合的量相等，即对应边相等、对应角相等。这往往是解决此类问题的通常思路。

二、通过旋转变换考查坐标系中图形位置的刻画

例2矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图5所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4。

（1）求AD的长。

（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式。

图5

【解析】本题是平面直角坐标系背景下的图形旋转，可根据旋转性质及坐标系中点的坐标与线段长度之间的关系进行探索。（1）如图6，连接AM，设OC=AD=m，由题意知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，故BM=m-2，DM=1。由AB2+BM2=AD2+DM2，得 52+（m-2）2=m2+12，求得 m=7，即AD=7。（2）如图7，过点B作GH∥x轴，分别交OA、CD于G、H，由（1）可知AB=BM=5，易证△ABG≌△BMH。设G（0，n），则HC=OG=n，所以GB=MH=4-n，BH=AG=5-n，因为GH=GB+BH=9-2n，GH=OC=7，所以n=1，所以B（3，1），又因为D（7，5），A（0，5），从而求得过A、B、D三点的抛物线解析式为

图6

图7

【点评】许多几何计算问题常常可以通过设未知数，再根据几何图形中存在的某种特定数量关系建立方程来解决。比如，利用全等、相似、勾股定理等都可以建立方程，从而解决问题。

三、通过运动问题考查对图形变换本质的理解和运用

例3如图8，在平面直角坐标系内，点C是反比例函数的图像上的一个动点，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接AB。

（2）连接OC，若点C在（1）中的双曲线上运动，线段OC是否存在最小值？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

图8

【解析】以函数为背景的运动型问题，需要充分挖掘图形的几何性质，将基本数量关系用方程的形式表达出来。（1）设CA=b，CB=a，由=16，可得ab=4，因为图像位于第二象限，故k=-4。（2）OC存在最小值。不难发现，当点C为双曲线与直线y=-x的交点时，OC最小，可求得C（1-2，2）、C（22，-2）。

【点评】（1）利用k的几何意义来求解，这是最直接、最有效的方法。具体解答过程中利用完全平方公式的一个基本变式ab=以快速地解决问题。（2）直截了当地考查了旋转变换（双曲线的中心对称性）和轴对称变换（双曲线的轴对称性）。同时，这也是一个数形结合的典型案例——随着点C在双曲线上运动，OC长的变化规律究竟如何？同学们可以试着用所学过的代数知识，来说明当点C在直线y=-x上时，OC取得最小值的理由。

在某种意义上，图形的变换其实是数学基本模型和数学思想方法的集中营。抓住三种基本变换的本质，把寻找对应相等的几何元素作为分析题目的“规定动作”，平时做好对常用数学模型和经典问题背景的积累与归类工作，对你解决图形变换类问题会大有裨益。