河南省南阳师范学院软件学院2017级9班

李居之 (邮编：473061)

本刊2019年第2期刊登了赵忠华老师提供的擂题(122)如下：

问题设a、b、c、d>0,且abcd=1,证明：

本文给出擂题的证明.

为证明擂题，先证明四个引理

引理1 设a、b、c、d>0，则有

(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab).

证明设待证不等式左右之差为M，则

M=(a2bc+ab2c+b2cd+bc2d+c2da+cd2a+d2ab+da2b+b2d2+a2c2+2abcd)-(a2bc+ab2c+b2cd+bc2d+c2da+cd2a+d2ab+da2b+4abcd)

=b2d2-2abcd+a2c2

=(bd-ac)2

≥0

显然成立.

引理2 设a、b、c、d>0，则有

(abc+bcd+cda+dab)2≥4abcd(ab+bc+cd+da).

证明因为(a+b+c+d)2

=[(c+a)+(b+d)]2≥4(c+a)(b+d)

=4(ab+bc+cd+da)，

所以

(a+b+c+d)2≥4(ab+bc+cd+da)

在这个不等式中作代换a→abc，b→bcd，c→cda，d→dab.

立得

(abc+bcd+cda+dab)2≥4abcd(ab+bc+cd+da).

引理3 设a、b、c、d>0，则有

(abc+bcd+cda+dab)(ab+bc+cd+da)≥4abcd(a+b+c+d).

证明

(abc+bcd+cda+dab)(ab+bc+cd+da)

=abc(ab+bc)+bcd(bc+cd)+cda(cd+da)+dab(da+ab)+2abcd(a+b+c+d)

=abc(ab+bc)+bcd(bc+cd)+cda(cd+da)+dab(da+ab)+2(a+b+c+d)

=4abcd(a+b+c+d)

从而原不等式成立，当且仅当a=b=c=d=1时等号成立.

引理4 设a、b、c、d>0，则有

(abc+bcd+cda+dab)3≥16(abcd)2(a+b+c+d).

由引理2与引理3左右相乘即得引理4成立.

现在，用引理1与引理4来证明擂题.

证明由引理1可得

3(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)+16

≥3(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+16

=(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+16.

利用四元均值不等式，得

3(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)+16

=16(a+b+c+d).

从而原不等式成立，当且仅当a=b=c=d=1时等号成立.

进一步，还可以证明攻擂题的一个加强式：

设a、b、c、d>0，求证：

(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

评注(评注人：郭要红，时间：2019，05，27)目前为止，本擂题收到攻擂稿件6份，其中4份解答是准确的，依来稿时间顺序，作者依次是耿绍辉(河北承德，2019,04,17)，李居之(河南省南阳师范学院软件学院2017级9班，473061，2019,04,24)，张云华(四川省成都华西中学，610051，2019,04,27) ，严复卓(甘肃省武威市第十八中学，733000，2019,05,06). 耿绍辉老师的证明采用了分类讨论与逐步调整的方法，其余三位老师的证明方法本质上是一致的，李居之同学的来稿对问题的来龙去脉均有阐述，阅读性更佳，限于篇幅，我们只选择其中部分，作为解答刊出，本擂题获奖者是耿绍辉老师.