江苏省南京金陵中学河西分校

李玉荣 (邮编：210019)

问题(2017武汉)如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC,CO的延长线交AB于点D．

(1)求证：AO平分∠BAC；

图1

解法1(1)如图1，延长AO交BC于点H，连接OB,

因为AC=AB，OB=OC，所以点A、O在BC的垂直平分线上，

所以OA⊥BC，又AC=AB，所以AO平分∠BAC；

图2

所以AH=AO+OH=9，

由(1)知，∠BAH=∠CAH，

设DK=3a，则AK=9a，

此题的难点是求CD的长，类似的，先给出求CD的第2种解法：

图3

解法2如图3，作DK⊥BC于点K，

评注这两种解法添加的辅助线为DK⊥AH(DK⊥BC)，从本质上看是DK∥BC(DK∥AH)构造“A型”或“X型”相似三角形，但图中的点D是“未定点”(AD、BD、OD、CD均为未知数)，且所添的辅助线破坏了已知的AO(BH)，导致解题过程较为复杂，为何不从另外的五点A、B、H、C、O添加辅助线入手呢？

图4

解法3如图4，延长CO交⊙O于点K，连接BK，则BK=2OH=8，且BK∥AH，

图5

图6

图7

解法6如图7，作AK∥DC交BC延长线于点K，因为AK∥OC，所以△AHK∽△OHC，

因为AK∥DC，所以△ABK∽△DBC，

图8

解法7如图8，作OK∥BC交AB于点K，

因为OK∥BH，所以△AOK∽△ABH，

因为OK∥BC，所以△DOK∽△DBC，所以

图9

解法8如图9，作OK∥AB交BC于点K，

因为OK∥AB，所以△HOK∽△HAB，

因为OK∥BD，所以△COK∽△CDB，

图10

解法9如图10，作HK∥CD交AB于点K，

因为HK∥DO，所以△ADO∽△AKH，

所以△HKB∽△CDB，

图11

解法10如图11，作HK∥AB交CD于点K，

因为HK∥BD，所以△HKC∽△BDC，

图12

解法11如图12，作CK∥AB交AH延长线于点K，显然△BHA≌△CHK(AAS)，所以HK=AH=9，

图13

解法12如图13，作CK∥AH交BA延长线于点K，因为AH∥CK，所以△ABH∽△KBC，

图14

图15

解法13如图15，由(1)知∠DAO=∠OAC，

因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，

所以∠DAO=∠OCA，又∠ADO=∠CDA，

评注此解法依托第(1)问的中介作用，揭示了命题中的条件与隐含条件，为寻求解题途径指明了方向，无需添加辅助线，使解决问题的方法简单流畅、别具一格，达到了化繁为简、化难为易的目的，而且还可以开拓学生的思维，对学生学习兴趣的培养也大有裨益．

中考试题都是经过命题专家在课标、教材的指引下精心设计的，只有深入其中去思考、去体会、去研究，才会发现其引导功能和教学价值．在日常教……