合肥师范学院数学与统计学院

陈 超 王家正 (邮编：230601)

变式与推广是中学数学教学中常采用的方法之一．对于数学问题，通过变式与推广，可渗透数学的基本思想，可以有效地锻炼学生数学思维能力，培养学生的创造性思维．因此对于数学问题的变式与推广，是对学生进行思维训练的有效工具，有利于提升学生的数学核心素养，提高学生学习数学的兴趣和效率．

本文结合一道竞赛题，探讨数学问题的变式与推广策略，以供参考．

1 问题的呈现

(1985年广州、 武汉、 福州初中数学联赛试题)△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且边BC和高AD的值是有理数，问：PQRS的周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

①

②

又由题意知a、b本身是有理数，故当a=b时，矩形PQRS的周长的值是有理数；当a≠b时，矩形PQRS的周长的值是无理数．

2 变式与推广

这道题涉及到的主要知识点是沪科版数学教材八年级下册中“韦达定理及其逆定理”的应用．为了更深入地研究这道题，训练学生思维能力，下面对这道题进行变式与推广．

变式1 若将题目条件中的“3倍”改为“2倍”，其他条件不变，会得到什么结果？

③

④

于是矩形PQRS的周长2(x+y)=a+b．

又由题意知a、b本身是有理数，故矩形PQRS周长的值在任何情况下均为有理数．

变式2 △ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的4倍，并且边BC和高AD的值是有理数，问：PQRS的周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

⑤

⑥

又由题意知a、b本身是有理数，故当a=b时，矩形PQRS的周长的值是有理数；当a≠b时，矩形PQRS的周长的值是无理数．