江苏省海门中学

朱建军 (邮编：226100)

数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本文将通过在2019届的一次四大市调研测试中的应用题，介绍以平面几何为载体的应用问题的思维路径及解决办法.

1 题目

(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；

(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.

图1图2图3图4

(第18题)

2 解决路径

思路1 通过建立直角坐标系，利用三角函数的定义建立数学模型.

(1)如图，过O作与地面垂直的直线交AB、CD于点O1、O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．

答：拱门最高点到地面的距离为5m．

(2)在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．

当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．

由(1)知，在Rt△OO1B中，

以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．

解题反思很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结……