张冬梅（特级教师）

小学数学中有一类是主观性较强的知识，是长期以来约定俗成的，通常被称作“数学规定”或者“数学规则”。关于规则教学一直争议颇多。有人认为，数学规则都有深刻的背景和理由，从学生认知水平的角度来看，不适合让学生讨论或探究作出某种规定的原因，并且有时也难于对小学生说清楚，因此教学中直接告诉学生就可以了。也有人认为：如果仅仅是一味地告诉学生这是一个“规定”，从学生持续发展的角度来看，这样的教学是远远不够的，学生会误认为数学就是权威的、书本的，只要照做就可以了，会压抑其探究精神和创新意识。为此，许多教师在进行规则教学时感到进退两难。

细细研读王健老师的《数学语言的习得与内化》（后简称设计一）和张缅老师的《让学习深度发生》（后简称设计二），很欣慰两位教师均已在专业成长的路上走向成熟的同时，更深有感触：上面的两种观点不是“是”与“非”的对立，而更应该是合理应用、恰当演绎、科学取舍的问题。

苏教版四年级下册第八单元的《确定位置》主要教学用“数对”确定位置，在生活经验描述位置的基础上，应用数学方法确定位置，进一步发展学生的空间观念，培养其数学思考的能力，并且渗透以后要认识学习的直角坐标系。两份设计的风格迥异，在目标上各有重点，在策略上也各显身手。

一、基于儿童的认知规律：淡化证明，强化合理

数学发展的历史业已充分表明，创建数学的基石是人的自由思想。德国数学家康托尔说，数学的本质是自由的。数学规则同样也蕴含着丰富的自由思维，我们不应该只看到它的历史规定性，而是应该看到其源头都闪烁着人类的自由思维。按照数学科学的要求，数学规则的叙述必须严密、准确，都要经过严格的论证。但受儿童智力发展水平和接受能力的限制，许多小学数学规则并不进行严格的证明。为了让学生体验数学的严密性、逻辑性，使学生感到数学规则是有根有据的，小学数学规则学习一般采用合情推理，用不完全归纳法或类比法导出。正如张奠宙先生也认为，对于数学规定虽然不需要证明，只要遵守，但我们可以谈“规则”的合理性。

1.合理诉说，表达数学规则之“温情”。

设计一中，“小军坐在哪里呢？”的设问，学生有不同的回答：“小军坐在从左往右数的第四组，从下往上数的第三个”“小军坐在第三排第四个”“小军坐在第四组第三个”……学生的答案都合理，为什么却不一样呢？学生在反思中意识到了需要统一“方向”与“顺序”的重要性。于是有关“行”“列”的教学，以及先“列”后“行”顺序的规定都顺理成章。“小军坐在第四列第三行”，随着问题的解决，有关“数对”的规则不但自然形成，还尽显了数对规则的合情合理之意。

在小学数学教学中，很多规定或规则都可以如设计一那样，不需要让学生进行探究和猜想，可以先入为主，借助情境或相关事例，化抽象为具体，合理解释规则，帮助学生更好地认识规则、理解规则，从而明确数学不是枯燥无味的，而是生动活泼的。或许，这些解释用历史的真实来考察，可能会与史实有些出入，但却是基本符合本意的教学情境描述，它让学生感受到数学规定不仅理性，而且充满温情和意蕴。

2．合理剖析，体现数学规则之“简洁”。

数学课程的一个重要目的，是使学生通过数学学习，形成一定的数学思想和数学意识。数学规则的学习往往可以起到促进作用。数学规则的背后往往蕴含着深刻的道理，而有些规则可以通过适度的剖析，让学生从中体会到一定的数学思想或者数学意识。比如，“求简”原则便是其中最显著体现的数学意识之一。

设计一中有一次经典追问是：“还有更加简洁的表达方式吗？”学生很快有了个性化的表达方式：4 列3 行、4|3-、4 3、（4，3）……

很显然，这些个性化的表达方式中，大家不约而同地选择了“4”“3”这两个元素，再细细一剖析，本着既“简洁”又“明确”的原则，大家确定了“（4，3）”这样的表示方法。

在小学数学中，很多规则的教学，比如书写格式、运算顺序等规定，都体现了数学的求简原则。上面设计一中表现出来的丰富多彩的个性化表达方式，本身也是教学开放的成果，一方面基于儿童思维的发展，体会规则诞生之曲折；另一方面，学生结合丰富的材料进行合理剖析，进而理解数学规则，真实感受数学的求简原则。这样的课堂，让学生既能明白规则的意义，又能牢固掌握所学的相关知识，拓宽了教学空间而未超越学生的思维领域。

王尚志教授说，数学要讲逻辑推理，更要讲道理。规则教学也就可以这样理解：既要呈现为什么要有这个规定，如果没有这个规定会发生什么；还要不满足于仅仅让学生知道是什么，而是深入地理解为什么会这样规定。

二、基于学科核心素养：大胆探索，逐步深化

数学学科核心素养的本质是“具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现”。学习数学首先要学会思维，数学的思维品质对于数学学习尤为重要。在数学学科核心素养中，特别强调学生的思维品质，这是数学学科的本质，以及数学学科的育人价值所决定的。而同时，我们必须认识到，数学学科核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。学生的核心素养是在教育的过程中形成的，数学学科核心素养同样是在学习数学和应用数学的过程中形成的。数学课程与教学在担负着传授数学知识的技能任务的同时，还有培养学生核心素养的重要任务。落实到每一节数学课堂上，也必须将学生学科核心素养的培养作为重要目标，并采取有效的策略与方法使其真实落地。

1．自主建构，经历数学规则之“发展”。

数学规则的形成和发展不是一蹴而就的，也不是一成不变的。甚至很多数学规则从产生到被普遍承认也不是一朝一夕就能完成的，都有一个曲折而漫长的过程。数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。对于数学中的规则，我们必须从数学知识的发生、发展的视角加以审视，必须从直接经验对学生学习的积极作用方面加以考虑。因此，如果属于学生能够自主建构的数学规则，我们主张让学生用“再创造”的方式进行学习，让学生体验数学规则形成与发展的过程，亲历“人类思维发展中的那些关键性的步子”，感受并体会数学规则的产生是自然的，从而更好地了解数学规则在数学内部需要与和谐发展中形成的思想背景与承担的功能，达到对规则更深刻、更精确、更厚实地理解和把握。

本节课，就知识结构而言，应该遵从数学知识内在的发展脉络，体现一种大格局：“数对”不应该只是生活中“第几列第几行”的直接升级，而应该把它作为“平面直角坐标系”的雏形；同时，就教学过程而言，学生的“当下”才是教学的起点，一定要遵从学生真实的学习过程，激活学生的经验，用好学生原生态的学习痕迹，相机而导，顺学而为，促进学生思维品质的发展，指向学生学科核心素养的提升。设计二创设了寻找光头强的游戏，教学首先通过游戏引导学生回顾了一维空间中点的位置的描述方法，明确了直线上任意一点都有唯一的一个数与它对应。随着“光头强”的移动，问题也从确定直线上点的位置，过渡到确定平面上点的位置，学生发现用原有的方法描述的信息是模糊的，于是形成了认知冲突，推动他们去寻求新的解决方法。到底如何确定平面上“光头强”的位置呢？课堂给了学生充分的时间与空间，让学生自主探索、积极研究如何确定二维空间里点的位置。由于学生认知起点、思维水平的差异，课堂上呈现出了不同层次的思维成果。有的学生说“在3的正前方2 厘米处”；也有的学生说“要是能在图上竖着放一把尺就好了”；还有的学生说“我在森林的左边标上了数字。从光头强现在位置对着横轴和竖轴上相应的数字画横线和竖线，这样看得更清楚。”显然，学生在激烈的思维碰撞中，完成了从一维到二维的艰难突破，逐步创造出了平面直角坐标系（第一象限）雏形。课堂上激烈的生生互动，有质疑、有补充、有尊重、有完善，而这些都是主动建构的真实经历，学生成功实现了“再创造”。

学生自主建构数学规则的过程，是数学教学中不可或缺的有机组成部分，是师生共同开发教材与经历成长的动态过程，是师生共同理解、感受、体验、欣赏数学的重要途径。这种经历数学规则“再创造”的过程而获得的知识是那么的鲜活和牢固，因为这是学生自我建构所得。在自我建构的过程中，学生更是充分地感受到数学是基于实际生活和需要而产生和发展的，数学的“亲和”与“道理”也就更能深入人心。

2.整体视野，感受数学规则之“联系”。

“数学知识不在于全，而在于联”。在小学阶段，为适应小学生认知能力及认知规律，小学数学中的重要规则，往往采用先渗透，再深化，逐步提高的分段编排方法。这样的编排方法，本身就对教学提出了“整体视野”的要求，要求教师在教学某一规则时，一定要理性而深刻地把握教学内容，向前追溯这一内容的生活经验与知识经验，向后思索这一内容的数学意义，在学科体系中的地位、价值，蕴含的数学思想方法，体现的数学精神等等。规则的教学只有注重了知识的“生长点”与“延伸点”，把规则置于整体结构和体系中，才能更好地把握局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性。在规则教学中，如果能找到一个与儿童贴近的载体，利用合适的形式，不仅可以让学生明白这样规定是有道理的，而且还能打通数学知识间的联系，体现数学的整体性。

设计二中，寻找光头强的游戏正是这样的载体。随着光头强位置的变化，引发了学生对于一维与二维确定位置不同方法的关注，体会其中的联系与区别，学生的思维实现从一维到二维突破的同时，更是完善了原有的认知结构；课的最后，光头强借助直升飞机逃离的情境，又将学生的视野从平面的点拓展到了三维空间中的点，思维还将从二维向三维发展。课堂的四十分钟，是师生生命的一次真实经历，而思考更不会因为四十分钟的到来而停止。怎么表示空中光头强的位置又成为新的悬念，激励学生进一步地探索，数学规则也就在学生不断地思考与研究中深化，学生的认知结构还将不断地更新、不断地完善。

数学规则的“理”具有抽象性，往往被认为是学生触不可及的。但我们不能忽视的是“理”更具有历史性、贯通性、综合性和人文性，是前人的智慧结晶，其“情”是可以让学生亲近的。在数学规则教学中，无论是基于儿童的认知规律，还是基于数学学科核心素养，我们都应当理性对待，处理好“科学数学”和“学科数学”的关系，实现“情”与“理”的融会贯通，促进学生智慧的增长，让数学规则根植于学生的心田，使其应用源自于学生内心的心智。