刘久成

【摘要】小学数学中“平行线”未涉及“平行公理”，这对教材编制和教学都带来挑战。然而平行线的认识是培养学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的重要载体。为此，教师应依托学生实际，把握概念本质，深度理解教材，为培育学生的数学核心素养创造有利条件。

【关键词】平行线 教学理解 核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力，以及情感态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。具体包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。现行数学课程标准虽未明确核心素养的内涵和要素，但应与高中数学核心素养一脉相承。数学教材是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，也是培育学生数学核心素养的重要载体。如何深度理解教材，揭示数学本质，挖掘教材中的核心素养要素，并以发展学生核心素养为导向创造性地运用教材，是摆在一线教师面前的一项任务。

“平行”是社会生活中普遍存在的现象，“平行”一词在日常生活中有多种解释。现代汉语词典解释为：等级相同，没有隶属关系（如平行机关）;同时进行的（如平行作业）;还有就是数学所说的“平行”，数学上的“平行”包括线线平行、线面平行、面面平行等。小学数学教材中只讨论平面内的“线线平行”，即“平行线”，内容主要包括：平行线的概念、平行线的画法、平行线的性质和平行线的判定。这些内容可为进一步认识平行四边形、梯形等有关知识奠定基础。

由于小学生抽象思维的局限性，认识图形主要以生活经验为基础，而非建立在公理体系之上，因此，小学数学中“平行线”的认识，未涉及“平行公理”，这对教材内容编制的系统性和逻辑性都带来了挑战。同时由于“平行线”以直线、平面概念为基础，而这两个概念都具有无限延伸性特征，这也给学生理解和教师教学带来了困难。我们看到，平行線的认识是培养学生数学抽象、直观想象能力和训练学生逻辑思维的重要载体，有助于促进学生核心素养的发展。为此，我们需要依托儿童实际，通过把握平行线本质，深度理解教材内容，为培育学生的数学核心素养创造有利条件。

  一、从有限到无限，激发直观想象

平行线的认识一般都安排在小学四年级进行教学，现行不同版本的小学数学教材，通常都是利用日常生活中的平行现象，如铁轨、双杠，经抽象概括，或通过让学生任意画两条直线进行分类讨论，形成“平行线”的概念。可是，这些事物对象都是有限的，都不是“平行线”的真实原型或状态，仅仅是平行线上的两条线段。每条线段都要分别向两方无限延长，才能成为平行线。这就需要借助想象，把有限拓展到无限。为此，我们认为，让学生从研究同一平面内两条线段的三种位置关系开始：

然后，让学生想象每幅图中的两条线段向两方无限延长，成为两条直线后的情况，从而认识同一平面内的两条直线只有以下两种位置关系：

这时给出“平行线”的定义水到渠成。让学生从观察“有限”的图形，到认识“无限”的图形，揭示了“平行线”的本质，有助于激发学生的直观想象。

  二、凸显平行线特征，揭示数学本质

平行线是指两条直线的位置关系，它包含两个特征：“在同一平面内”“两条直线不相交”。学生往往只关注“不相交”这个条件，而忽视“在同一平面内”。因此，在学生对“平行线”有了初步认识之后，教者可以利用正方体中的异面直线AB和FG突出平行线定义中的这个条件。

师：同学们想一想，在日常生活中，我们在哪里见到过平行线？（告诉学生：我们见过的事例中存在的“平行线”实质上都只是平行线上的两条线段。将它们分别向两方无限延长后，得到的两条直线才是平行线。）

师：在我们学过的图形中，能找到平行线吗？（如长方形的对边，以及正方体中的某些线段。）

为什么说“AB、CD是平行线”呢？（图4）

在正方体ABCD-EFGH中（图5），和AB平行的直线有哪些？和AB相交的直线有哪些？另外还有几条直线和AB的位置关系如何？如AB和FG怎么样？（它们虽然不相交，但是因为不在同一个平面内，所以不是平行线。）强调“平行线”必须具备两个条件——“在同一平面内”和“不相交”。这样借助于肯定例证和否定例证的讨论，进一步明确了“平行线”这个概念的内涵。

  三、利用方向直觉，力求“混而不错”

心理学研究表明，画图有助于感受图形特征，加深对图形概念的理解。在平行线的教学中，画平行线不仅可以更好地理解平行线的概念，也为后续画平行四边形、梯形等奠定基础。教材中对画平行线的要求不高，似乎关注不够。一般只要求在方格纸上画，或者用直尺的两边画，没有提出一种通行的画法。实际教学中，我们看到有些教师会补充介绍用直尺和三角板“推”的方法画平行线，但这种画法的依据是什么呢？教师一般不做解释，实质上是依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，而这一判定定理是建立在“平行公理”基础之上的，对小学生来说，还没有此理论依据。此时，如何说明用“推”的方法画平行线的合理性呢？张奠宙先生提出“方向直觉”的建议：两条方向相同的直线不会相交，因而是互相平行的。特别地，与同一直线垂直的两条直线互相平行。这就如同沿着同一方向行走的人不会相交一样，人人都有这样的生活经验。这样处理明确易懂，并且与中学数学里“同位角相等，两直线平行”的判定法则相衔接，也符合苏步青先生在20世纪60年代编写中小学教材时提出的“混而不错”的思想。这样，引导学生用数学的眼光观察生活现象，是对生活世界进行数学化处理，有助于培养学生的数学模型意识和理性思维。

  四、改进教学思路，培养逻辑思维

现行教材中，一般都没有给出“平行线段”的概念，但在书后的习题中都毫无例外地用到了这一概念。事实上，实际应用中所涉及的“平行”问题也基本上都是平行线段问题，在此对“平行线段”稍作交待：“两条线段所在的直线互相平行，这两条线段就叫作互相平行。”这样，在不增加学生过多负担的情况下，能使教材内容的逻辑性和系统性增强，更重要的是有助于学生养成有根有据地思考问题的习惯。

中学数学里有关于两直线平行的判定定理，而小学没有。概念的定义通常可以作为判定的依据，但平行线的定义中，由于直线具有向两方无限延伸的特性，延伸以后是否相交，需要超经验的想象，这是难以做到的。因此，平行线的定义难以用于判定两直线是否平行。我们看到，人教版数学教材做了如下处理（四年级下册第59页，例3（2））：

很显然，这里是通过“画”“量”实验的方法得出“与平行线垂直的所有线段都相等”，然而这一结论未必可靠，但考虑到小學生实际，这里暂且不作严格证明。进一步地，教材在“做一做”中，要求学生利用上述结论检验两直线是否平行，这就出现了逻辑问题。

由例3（2）得到的结论是：“如果两直线平行，那么它们间的垂直线段相等”（原命题），这是平行线的性质，而依据该命题做不出两条直线互相平行的推断。如果是依据其逆命题：“如果两条直线间的垂直线段相等，那么两条直线平行”来进行判断，那么逆命题成立的依据何在？原命题成立是不能保证其逆命题成立的。这种把平行线性质定理当作判定两条直线平行的准则，容易造成学生思维上的混乱。

由于小学数学没有直线平行的判定定理，而且平行线的定义又不能用作判定的依据，如何判定直线平行似乎成了一个难题。为此，我们建议利用在“方向直觉”的基础上建立起来的平行线画法，即用直尺和三角板“推”的方法去检验两直线是否平行。

小学数学中的概念都是最基本的概念，基本概念常常都是很重要的，具有很高的教学价值，教师在研究概念教学时，需要有数学上的高观点，弄清其现实原型和科学意义，也需要重心向下，为学生所理解，基于学生核心素养的养成，对教材进行创造性处理。