王大澳，菅利荣，王 慧，刘思峰

(1.南京航空航天大学经济与管理学院，江苏 南京 211106；2.北京交通大学经济与管理学院，北京 100044)

1 引言

产业集群作为当前产业发展中的一种重要形式，具有技术创新密集、规模经济突出和知识溢出等特征。产业集群形成后，集群内部的企业组成协同创新联盟，通过联盟合作促进集群内新兴创新企业的快速繁衍、成长，使相关产业得到延伸，逐渐形成协同创新网络，构成完整的产业链条，提升科技与知识创新的效率，形成持续创新发展的机制，进而有力带动整个新兴产业的发展。然而影响联盟企业合作最为关键的因素是如何合理公平的对组成联盟所获取的利益进行分配，利益分配是否合理直接影响联盟创新的可持续性和稳定性。

如何有效解决合作联盟内的收益分配问题已成为国内外研究的重要课题。Shapley值及其改进的方法是研究合作联盟企业利益分配问题的重要方法之一。Shapley值是由Shapley于1953年提出的一种用以解决n人合作中利益分配问题的数学方法[1]。传统的Shapley值方法以合作联盟中每位成员具有相同的边际贡献为前提假设，然而在实际情况中，政治、经济、环境等因素可能会对联盟成员形成一定的约束。Aumann和Maschler最早提出了具有限制的合作博弈模型[2]。随后学者们探讨了参与成员之间其他形式的合作限制。Myerson通过无向图来描述成员之间是否具有双边交流，将连通图作为对可行联盟的限制，只有成员之间具有连接关系，他们才可以形成合作[3]。Gilles假设一个成员必须获得至少一个他的上级成员的许可才能和其他成员进行合作[4]；Derks假设上级和下级所具有的权重不同，任何上级可以否决其下属的行为，因此成员必须得到所有上级的许可才可参与合作[5-6]； Béal 等[7]在研究具有限制性可能的合作博弈中，扩展了Herings等[8]提出的树形结构的平均边际树解，并获得了这些解的一些新的特性；孙红霞和张强[9]基于Faigle和Kern[10]提出的格结构思想，研究了具有联盟结构的限制合作博弈。张瑜等[11]利用网络协同系数对Shapley值进行优化对产业技术创新战略联盟中的创新主体在合作过程中的利益协调问题进行了研究。上述文献中考虑具有限制的合作博弈问题，前提条件都是参与人之间的依赖关系必须是完整的，即在一个联盟中一个成员要么被允许完全合作，否则他们不能参与合作。

然而在实际的联盟合作中，企业在参与合作时，由于自生技术的局限性，产业集群环境的不确定性，企业只能发挥出一部分能力。企业之间以一定的参与率参加到联盟合作中，他们之间的收益分配问题具有非可加性。为了解释和刻画这种问题，就要弱化概率公理化刻画中可加性的条件。法国数学家Choquet[12]在1954年提出了关于容度的理论，来解释非可加的测度，并提出了有界随机变量关于容度的Choquet积分。Choquet积分是一种不满足可加性测度的非线性积分，是解决属性之间具有关联性的问题有效方法。如赵树平等[13]运用Choquet积分解决属性之间具有关联性的决策问题。现有的文献中已有很多学者利用Choquet理论对联盟成员以某种程度参与到联盟合作中的情况进行了研究。Gallardo等[14]考虑到联盟中的成员可能具有一定的自由度参与合作的情况，构建了联盟中参与人可主观的确定限制的博弈模型。孙红霞和张强[15]将经典合作博弈中的势函数和一致性推广到具有模糊联盟的合作博弈中，研究了具有模糊联盟博弈的Shapley值。孙红霞[16]研究了模糊联盟结构的合作对策的分配问题，定义了Chouqet积分形式的模糊联盟核心，并证明了Chouqet积分形式模糊Owen值属于其所对应的模糊联盟核心。孟凡永和张强[17]研究了具有Choquet积分形式的模糊合作对策，并对其单调性和连续性进行了研究。单而芳和张广[18]结合权重的思想对准许树结构(即局中人的活动需要经得其他局中人的准许才能生效)的博弈进行了研究，并对准许树博弈限制核的研究，证明了当准许树博弈满足锥模性质时由权重系统集确定的解集与它的准许树限制核是等价的。杨靛青等[19]针对模糊环境下有限制的联盟合作情况，利用Choquet积分定义了模糊联盟图合作对策τ值，证明了其存在性和其他重要性质。

上述文献中考虑了具有联盟结构的合作博弈问题，但在实际的产业集群联盟合作中，由于集群环境的复杂性、不确定性和企业自我认识的局限性，有时很难完全确定信息的精确值。然而邓聚龙[20]提出的灰色系统理论对这类 “部分信息已知，部分信息未知”的小样本，贫信息的问题可以进行很好的刻画。鉴于此，在前人研究的基础上，本文将灰数、Choquet积分和Shapley值模型相结合，提出了基于灰色授权机制的限制合作博弈，进而解决产业集群中企业的合作能力和联盟收益值均为区间灰数，且企业之间具有关联性的联盟利益分配问题。

2 理论基础

2.1 合作博弈

设有限局中人集合N={1,2,3,…,n}上具有效用可转移的合作对策，是一个二元组，(N,v)，其中v:2N→是定义在所有子集上的特征函数，且满足v(Ø)=0；对任意S1,S2∈2N满足S1∩S2=Ø，v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)。一般情况下，通过特征函数v来识别一个合作博弈(N,v)，给定一个联盟E⊆N，v(E)为联盟E的值，表示在联盟E中局中人共同协作获得的收益。如果博弈v是单调的，对于任意F⊆E⊆N，则有v(F)≤v(E)。将N上所有经典合作对策记为G(N)。

定义1 在n人合作博弈(N,v)中，G(N)的Shapley值是n维向量：φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))，φi(v)的值为i在G(N)中获得的收益：

×[v(E)-v(E{i})]

(1)

其中|E|表示联盟E中局中人的数量，且Shapley值满足以下三条公理：

可加性公理：对任意ω,v∈G(N)及任意的S∈2Ni∈N，有(ω+v)(S)=ω(S)+v(S)，则φi(ω+v)=φi(ω)+φi(v), ∀i∈N。

对称性公理：如果对于N集合中所有不包含i和j的子集E，有v(E∪{i})=v(E∪{j})，则φi(v)=φj(v)。

哑元性公理：令v∈G(N)，对任意的i∈N，如果v(E)=v(E{i})，E⊆N，则i为哑元，即φi(v)=v({i})。

2.2 区间灰数

定义2 设⊗1∈[a,b],a0；⊗1-⊗2∈[a-c,b-d]。

定义4[22]设区间灰数⊗1,⊗2为两个标准灰数，S(⊗1),S(⊗2)为对应的相对核，P(⊗1),P(⊗2)为对应的精确度。

(1)若S(⊗1)

(2)若S(⊗1)>S(⊗2)，则标准灰数⊗1≻⊗2；

(3)若S(⊗1)=S(⊗2)，则

①若P(⊗1)=P(⊗2)，则标准灰数⊗1=⊗2；

②若P(⊗1)

③若P(⊗1)>P(⊗2)，则标准灰数⊗1≻⊗2。

2.3 Choquet积分

定义5 设X={x1,x2,…,xn}为非空集合，P(X)是X的幂集，f:(X,P(X))为定义在X上的非负函数，μ为定义在P(X)上的容量，则f关于容量μ的Choquet积分为：

(2)

其中，0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={x1,x2,…,xi}且A(0)=0。

Choquet积分具有以下性质：

3 构建产业集群联盟合作的灰色授权机制的Shapley值

在实际的产业集群联盟合作中，企业由于自生技术的局限性只能发挥出一部分能力，当和其他企业形成联盟时在其他企业技术的支持下获得更多的生产能力，即为其他企业对该企业进行的授权。灰色授权机制是指企业在联盟中的合作能力为不确定的灰色信息。

定义6 设τ:2N→[0,1]N为N上的灰色授权算子，记为gso(N)，且满足：

(1)τ(E)≤1E,E⊆N

(2)如果E⊆F⊆N，则

τ(E)≤τ(F)。

假设τ是一个灰色授权算子，v是N上的博弈。给定一个联盟E⊆N和i∈N，则τi(E)为企业i在联盟E中的合作程度。

定义7 设v∈G(N)和τ∈gso(N)。v在τ上的限制博弈vτ∈G(N)的Choquet积分定义为：

(3)

(4)

其中0=⊗(0)<⊗(1)<…<⊗(m)。

定义8 在n个企业的灰色授权机制的合作博弈为φ:G(N)×gso(N)→，则有φ(v,τ)=φ(vτ);v∈G(N),τ∈gso(N)。

定义9 在n个企业的灰色授权机制的合作博弈τ∈gso(N)中，设D⊆N是一个联盟。如果对任意联盟E⊆N，都有

(5)

则称联盟D为一个支柱。

定义10 在n个企业的灰色授权机制的合作博弈τ∈gso(N)中，的Shapley值是n维向量φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))。

满足以下四条公理：

(2)对称性公理：对于置换π，有φπi(πvτ)=φi(vτ)。

(3)可加性公理：对于任意v,ω∈G(N),τ∈gso(N)对任意的i∈N，有φi(v,τ)+φi(ω,τ)=φi(v+ω,τ)。

(4)哑元性公理：对于任意v∈G(N),τ∈gso(N)，D为支柱，D⊆N，对任意的i∈ND，有φi(v,τ)=vτ({i})。

引理1 设合作博弈G=(N,uT)是一个简单的博弈，其中合作联盟T⊂N实值函数uT的取值为：如果T⊆N，则uT(N)=1；否则，uT(N)=0。

具体证明参考文献[23]。

定理1具有灰色授权机制的限制合作博弈，若满足有效性、对称性、可加性和哑元性，则存在唯一的Shapley 值：

×[vτ(E)-vτ(E{i})]

(6)

证明：对定理1的证明分为两部分，第一部分先证明由公理可以推导出唯一的式(6)表示的Shapley值。第二部分证明公式(6)满足四条公理。

由引理2可得：

由公理3和引理1的推论式，有

将引理2中的cT代入上式，并将联盟R换成联盟E，有

(7)

对式(7)分开讨论，前一部分有：

(8)

后一项中，因为i∉E令E′=E∪{i}则E=E′{i}，|E|=|E′|-1，于是，后一项为

(9)

将式(9)代入到式(7)，再将式(8)代入，有

(10)

在i∉E的时候式(10)中vτ(E)-vτ(E{i})=0，则式(10)和式(6)没有区别，这样我们完成了由公理可以推导出唯一的式(6)表示的Shapley值。

证明的第二部分验证唯一的Shapley 值满足合作博弈的四个公理。

验证对称性：对任意一个置换π，都是对N中n个元素的一种排序。令π2=π*π也是一种置换，π和π2的逆变换也是如此。因此对任意的E⊆N，有|π(E)|=|π-1(E)|=|E|。

令ε=(π*π)-1=(π2)-1

×[πvτ(πE)-πvτ(πE{i})]

×[vτ(E)-vτ(E{i})]=φi(v)

验证有效性：设v∈G(N),τ∈gso(N)E⊆N，D为一个支柱，运用Shapley值的有效性和Choquet积分的公理1。

对式(6)关于i求和得到：

(11)

考虑一个固定的联盟L⊆N，则式(11)括号中的第一项变为vτ(L)，且总共出现|L|次，则整个和式中vτ(L)的系数为：

(12)

上式对于一切联盟L⊆N都成立。

式(11)括号中的第二项变为vτ(L{i})，且总共出现n-|L|次，则整个和式中vτ(L{i})的系数为：

其中(|L|+1)是指联盟E选取的L∪{i}，上式对于一切联盟L⊂N都成立。

当L=N时，则式(12)等于1，因此，式(11)可化简为：

(13)

设D是一个支柱，根据支柱的定义和式(13)可得到

因此有效性公理得到验证。

验证可加性：设v,μ,v+μ∈G(N),τ∈gso(N),E⊆N，根据Choquet积分的性质5，

因此，(v+μ)τ=vτ+μτ

-vτ(E{i}))+(μτ(E)-μτ(E{i}))]

-μτ(E{i}))=φi(v,τ)+φi(μ,τ)

验证哑元性：设v∈G(N),τ∈gso(N)

D为支柱，D⊆N，对任意的i∈ND

表明哑元参加到联盟D中，没有新的贡献，因此他能得到保留的收益vτ({i})。

若i不属于支柱D，对于联盟E⊆N,i∈S有

vτ(E∩D)=vτ((E{i})∩D)

将该式代入式(10)，有

所有具有灰色授权机制的限制合作博弈的Shapley值满足哑元性。

以上证明了灰色授权Shapley值满足合作博弈的四个公理。

4 应用算例

假设在某产业集群中企业i=1,2,3协同研制一种复杂产品，企业i生产组件i。由于客观环境的复杂性、不确定性和技术的局限性，企业3在独自生产时只能利用其自身0.3的生产能力；而企业3当与企业1组成联盟时企业3被授予利用⊗13∈[0.4,0.5]的生产能力；而企业3与企业2组成联盟时企业3被授予利用⊗23∈[0.7,0.8]的生产能力；当形成一个大联盟时3个企业都被授予利用各自的全部生产能力。这种情况可以建立合作博弈模型({1,2,3},v)，对于任意的联盟E⊆{1,2,3}，v(E)表示联盟E获得的收益。

v({1})=5,v({2})=6,v({3})=8

v({1,2})=20,v({1,3})=[16,19],

v({2,3})=[28,30],v({1,2,3})=60

对于任意的联盟E⊆{1,2,3}，和i∈{1,2,3}，τi(E)表明企业i的生产能力：

表1 企业在不同联盟中的生产能力

计算限制博弈：

vτ({1})=v({1})=5,，

vτ({2})=v({2})=6，

vτ({3})=v({3})=0.3×8=2.4，

vτ({1,2})=v({1,2})=20，

vτ({1,2,3})=v({1,2,3})=60。

计算3个企业分别获得的报酬：

表2 企业3的Shapley值计算

φ3(v⊗)=[17.25,18.68]

同理可得：φ1(v⊗)=[16.48,18.75]，φ2(v⊗)=[23.4,25.43]。

根据算例计算出的结果，φ1(v⊗)+φ2(v⊗)+φ3(v⊗)=[57.13,62.89]联盟支柱的收益v({1,2,3})=60在区间[57.13,62.89]范围内，所以满足有效性，φi(v⊗)>vτ({i})，说明企业通过联盟合作得到的利益大于企业自己单独生产所产生的利益，所以分配结果满足企业形成联盟合作的个体的合理性。

引入区间灰数来表征企业在联盟中的参与度和联盟利益，可以更加直观的描述因企业自我认识的局限性而造成的对企业在联盟中的参与度和联盟利益信息认知的部分明确和部分信息不明确的实际情况。由于区间灰数是一个区间内的某个真值，相比于表达整个区间的区间数，这就降低了在利益分配过程中采用区间数进行分配而带来的不确定性。其次，应用Choquet积分对具有区间灰数信息的合作能力进行集成，保证了区间灰数的本质特征得以延续，因此也保证了联盟利益分配的公平性。从计算步骤和计算结果方面分析，本文直接对区间灰数进行计算，有效的避免了因数据处理过程而导致数据不确定性放大或缩小的失真情况。

5 结语

考虑到在实际的产业集群协同研制过程中企业由于自身技术的局限性，在没有和其他企业形成联盟合作时难以发挥出全部的生产能力。因此，本文首先对合作能力信息为灰数的情况，建立了灰色授权算子，其次运用Choquet积分对合作企业之间不完整的依赖关系进行集成，最后将集成信息和Shapley值模型结合起来，建立了具有灰色授权机制的限制合作博弈模型，最后通过应用算例，验证了模型在产业集群联盟企业合作中利益分配的公平性和合理性。

本文中，在建立灰色授权机制合作博弈模型时默认了企业之间都是相互促进的关系，然而在实际的产业集群联盟合作中，企业之间不可避免的会存在一些竞争与冲突关系，如何处理在联盟合作中企业之间的竞争与冲突关系是今后的研究方向。