杨 涛

（四川工商学院数理教研室，四川 成都 611745）

1 引言

不等式的证明是高等数学中重点和难点之一，其常用证明方法有：比较法、综合法和数学归纳法、利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)和中值定理等［1，2，3，4，5］。然而许多学生在证明不等式时总是感到束手无策、无从下手。一方面是因为不等式证明的题目类型比较多，证明方法因问题的不同而变化多端；另一方面是在学习的过程中对不等式证明方法没有进行归纳和总结。因此，为帮助学生较好理解和掌握不等式证明问题、熟练运用所学知识证明不等式，下面对不等式证明常见方法进行了归纳和总结，帮助学生较好地理解和掌握不等式证明问题。

1.1 借助函数图形分析不等式

函数图形不但能够清晰直观地呈现函数增减变化、对称性、最值等问题，而且是分析不等式成立的最基本和最常见的方法之一。比如，要证明f（x）＞g（x)，可借助计算机分别画出函数f（x）与g（x)的函数图形，对画出的函数图形进行分析和探讨，得出不等式成立的相关信息，并根据得到的不等式成立相关信息梳理不等式证明思路，同时以相对简洁且符合逻辑的数学语言对待证不等式进行描述。

例1 证明：当x＞0 时，x＞ln（1+x）.

分析1 不妨记f（x）=x，g（x)=ln（1+x），要证明，x＞ln（1+x）在x＞0 时成立，即f（x）＞g（x)证明。函数图形能够清晰直观地帮助我们证明不等式问题，因此函数f（x）与g（x)的函数图形如图1所示。图1表明，当x＞0 时，恒有f（x）＞g（x），即x＞ln（1+x）。

分析2 要证明x＞ln（1+x）在x＞0 时成立，即证明ex＞1+x。不妨记f（x）=ex，g（x）=1+x，函数f（x）与g（x）的函数图形如图2所示。图2表明，当x＞0 时，恒有f（x）＞g（x），即ex＞1+x，等式左右两边同时取对数可得：当x＞0 时，不等式x＞ln（1+x）成立。……