孙向东

[摘  要] 思维能力培养是核心素养的有机组成部分之一，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一. 文章通过一题多解、一题多变、多题一解的教学模式，开拓学生思维，培养其探求新知的创新精神.

[关键词] 一题多解;一题多变;多题一解;发散性思维;创造性思维;收敛性思维

思维能力培养是核心素养的有机组成部分之一，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一. 在学习数学和运用数学解决问题时，学生不断地历经直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、数据处理等思维过程. 这些过程体现了具体的数学思维能力，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和判断. 那么，如何才能培养学生的数学思维能力，提高学生的学习效率呢？

提倡一题多解，培养学生发散性思维能力

一题多解可以使学生在条件和问题不变的情况下，多角度、多侧面地分析思考，探求不同的解题途径. 一题多解的训练可以培养学生的发散思维. 它可以通过纵横发散使知识串联，达到举一反三、融会贯通;也可以通过比较各种思维方法，获得一种最简洁、最科学的方案与结果.

一题多解可以巩固学生知识，训练学生思维，开阔学生视野[1]. 一题多解教学模式点燃了学生学习数学的兴趣，激励学生深入钻研. 具体的课堂表现是，我们总会在讲完一道题目后，习惯性地问一句“哪位同学还有其他解法？”这样就给学生创造了思考、探究、呈现自己思维的机会，往往有些学生针对一些题目会有奇思妙想，有利于让他们通过展示自我形成一种积极思考的氛围. 这样一来，学生可以从多角度去思考问题，使知识点之间建立联系，无形中形成知识的串联与网络，从而培养学生的发散性思维，也加深学生对相关知识的理解，也就达到我们教学的最终目标.

记得刚工作时，听过一位名师的数学课，那节课他采用了一题多解的教学模式，充分调动了学生的学习兴趣，课堂气氛非常活跃，很多学生从不同的角度去思考问题，得到了一些非常新颖的解法，深受在场师生的赞同与好评. 那节课笔者记忆犹新，这么多年过去了还会时常浮现在眼前. 前段时间在高三模拟考中有一道题，笔者也尝试了用一题多解的模式来讲评，虽说一节课就讲了一道题，但学生情绪高涨，思维活跃. 笔者自认为这是一节非常成功的习题课. 此题及学生的解法归纳如下：

例：已知实数x，y满足x2-y2=1，则2x-y的最小值为___________.

解法1：用几何性质求解.

评析：构造双曲线上的点到直线2x-y=0的距离的最小值问题. 在双曲线某点处作切线，当此切线与直线2x-y=0平行时，切点到直线2x-y=0的距离最小，便可求解. 此方法求解比较简单，但构造和求导对一般学生来说比较复杂.

解法2：用基本不等式求解.

评析：由x2-y2=1得（x+y）（x-y）=1，由它们的积是定值而想到使用基本不等式，从而通过换元构造基本不等式的条件便可求解. 此方法比较难想到，一旦想到用平方差公式将左式化成两个数的积是定值，计算过程将会很简单.

解法3：用三角代换法求解.

解法4：用方程的思想方法求解.

评析：令2x-y=z后，将此函数问题转化为方程有解问题，根据一元二次方程有解所满足的条件为Δ≥0便可得解. 此方法充分体现了函数与方程的思想方法的妙处，思路清晰简洁，更便于学生理解和掌握.

解法5：利用线性规划求最优解的方法求解.

评析：此题可抽象出二元一次方程组，运用线性规划知识求最优解来加以解决. 此法虽然相对麻烦，但体现了函数与方程、不等式组与线性规划求最优解的思想.

解法6：利用函数求导数得最值的方法求解.

评析：x2-y2=1虽然不能进行统一的研究，但可以通过对研究对象进行分类讨论而求解，把2x-y转化成关于y的函数问题，借助导数研究函数最值. 此方法也较麻烦，但它体现了数学当中函数求导来求最值的基本方法.

学生还提出了一些与以上某些方法类似但不完全相同的方法，限于篇幅，笔者选择了以上六种解法与各位同行们一起分享，解题过程从略. 这道题体现了数学思维的灵活性和多样性. 用到的数学思想方法有：转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程. 这四种常用的数学思想方法通过一道小小的填空题完全体现出来. 当然，并不是每一道题都要用这么多的方法求解，而我们也应在这众多的方法中挑选最适合自己的一两种方法来求解. 此题笔者认为解法4最简洁明了.

再例如， 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

解法1：运用向量加减法的几何意义，即平行四边形法则或三角形法则，再根据余弦定理便可求出θ的取值范围.

解法3：用向量的几何意义，但最重要的是根据三角形当中大边对大角的性质求解，过程非常简单，思路清楚，计算量较小，是一種较优的求解方法.

总之，一题多解，给教师和学生提供了一个很好的相互交流的平台. 教学中，适宜地进行一题多解的训练，不仅可以充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧;而且利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长.

加强一题多变，培养学生创造性思维能力

一题多变，就是改变题目中的某些条件或把题目中的结论与题设交换，或再加上一些条件等，进行新的求解. 一题多变，可深化对数学概念、公式、定理、公理的理解与应用，有效地提高思维的敏捷性、应变性、发散性、创造性等. 一题多变的教学可以使一题多用，多题组合，给人以新鲜感，唤起学生的好奇心和求知欲. 所以教师在教学过程中不应只满足于例题的演示，而应引导学生去探求“变异”的结果，培养学生的创新能力，激发学生的学习兴趣.

牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现. ”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例（习）题所提供的结构特征，鼓励、引导学生大胆猜想，以培学生的创造性思维. 对一道题进行变式训练，不仅可以克服思维定式，培养创造性的思维能力，而且有利于掌握某一类问题的解法，锻炼举一反三的能力，从而提高学习效率.

数学中的一题多变能够体现知识的一定规律和一定关联，便于学生思考问题时思路的发展. 题目的相同、相近、相似可以培养学生的观察能力，了解数学从简单到复杂，从一般到特殊的探索规律. 再用不同的思路去分析，不仅使得学生对问题的思考由浅入深，而且极大地锻炼学生类推能力和归纳能力. 例如在浙江省某市高三复习交流会中，有位老师就采取了一题多变的教学模式. 题目设计如下：

以上题目都是由数列的递推公式求通项公式，设计由浅入深，一般到特殊，符合学生的认知能力和思维能力. 归纳总结可为以下几种方法：

课堂效果非常好，堪称一堂不错的交流課.

总之，通过一题多变启发式教学，体现了新的课程标准所强调的，“教师要让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程;启发学生发现问题和提出问题，使数学学习成为再创造、再发现的过程. ”教会学生思考数学问题的方法，为提高学生数学思维能力提供了有效的途径.

注重多题一解，培养学生收敛性思维能力

多题一解，指的是在习题处理时，帮助和引导学生对所做的习题进行归纳总结，分类比较，发现题目的通性，进而形成解决问题的通法. 学生自己做题时，往往做不到自主地去总结归纳，就知道做题，结果是相同题目或者相近题目反复做，效率低下，做了好多无效学习的事情. 所以作为教师，在平时的练习中要有意识地帮助学生养成良好的总结归纳的习惯，比如做题时让学生分析题目所考查的知识点，用的是什么方法解决的，做过的典型题目中哪些也用到了这种方法，并让他们试着找出相同类型的题目，比较一下这些题目之间的区别和联系，以及题目解法的相同点是什么等等，逐步培养他们学会自己去提炼数学思想和方法的能力.

多题一解是培养学生收敛性思维的一种综合归纳的思维方式[2]. 它可使学生对所学的内容更加感兴趣，感到一切新问题都是可以通过转化成已经解决的问题来达到目的的. 例如在高三复习过程中所发现的多题一解如下：

例1：在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？

答：正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值. （可用等体积法加以证明，此定值即为正四面体的高.）

例2：正四面体ABCD的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB，BC，CA的距离之和为x，点E到平面DAB，DBC，DCA的距离之和为y，则x2-y2等于_____.

例3：已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（  ）

A. 一条直线的一部分

B. 椭圆的一部分

C. 圆的一部分

D. 抛物线的一部分

第一题是类比推理，第二题是求代数式值，第三题是求点的轨迹问题. 这三题表面上看起来风马牛不相及，但实质上考的是同一个知识点，都是第一题的结论. 但对学生来说，没有扎实的基本功和发散的思维能力很难把他们回归为一类问题. 后两题均为某年浙江省名校联考试卷中的压轴题，一题为填空题的最后一题，一题为选择题的最后一题. 从这两次的考试结果来看这两题的得分率都很低，大部分学生都不知道从何入手，不知此题考查哪个知识点. 类似多题一解的例子很多，举不胜举.

总而言之，多题一解是一种培养学生收敛性思维的综合归纳的思维方式. 学生在做了同一知识点的许多习题后，可以加以梳理、归纳、提炼、异中求同，从而揭开不同习题的表面现象，挖掘它们的本质结构，以达到数学知识的变通性、规律性和发展性，从而使学生脱离题海战，获得事半功倍的效果.

当今，数学思维能力的培养是核心素养的有机组成部分之一，学生的创造精神和创造能力的培养是中学教学内容改革的重要趋势之一，也是新时期现代化建设的需要. 因此，我们在数学教学过程中应根据教材的内容，精心设计一些培养发散性思维、创造性思维、收敛性思维的习题. 通过一题多解、一题多变、多题一解对学生进行思维能力的训练，使其在灵活掌握各知识点的同时，也达到知识迁移和巧解巧算之目的，最终实现学习的高效性.

参考文献：

[1]  吕增峰. “一题多解”是“亮点”还是“败笔”[J]. 中学数学教学参考，2010（10）.

[2]  倪春雷. 一题多解与多题一解[J]. 新课程（中学），2011（10）.