施俊进

[摘  要] “学材再建构”体现的教材观是“用教材”. “用教材”突显“教为学服务”，在继承中创新，所以必须充分发挥教师的主体创造性，即根据学情，设计的教学内容与教材必须有一定幅度的调整.

[关键词] “用教材”;学生资源;教学调整;消枝强干

“学材再建构”体现的教材观是“用教材”. “用教材”突显“教为学服务”，在继承中创新，所以必须充分发挥教师的主体创造性，即根据学情，设计的教学内容与教材必须有一定幅度的调整. 2019年2月28日，在《海门市初中“课堂革命”现场推进会暨83次校长俱乐部》活动中，笔者执教了“二元一次方程组（第1课时）”（人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册）一课. 现将课堂教学生成简录、反思建议，特别是依据学情和教学目标重组教学内容进行的“学材再建构”思考，整理成文，与各位同行交流.

课堂教学目标

1. 经历分析实际问题中数量关系的过程，初步体会二元一次方程（组）是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的数学模型，激发学生学习二元一次方程（组）的积极主动性.

2. 了解二元一次方程的意义、二元一次方程的解的意义和性质.

3. 通过对必须同时满足两个条件的具体问题的研究，建构二元一次方程、二元一次方程组的解的概念，渗透解二元一次方程组“消元”的思想与方法.

教学过程实录（简）

1. 环节一：师生互动，揭示本质

问题用30 cm长的细绳子打结后绷成一个长方形（打结所用的绳子长度不计）.

师提问：（1）长方形的形状和大小能否确定（师演示变化着的长方形）？这样的长方形有多少个？

（2）在这样的变化过程中，有没有不变的量或不变的关系？

【强调：绷成的各个长方形的长和宽不全相同，但周长不变，即“长+宽=15 cm”是不变的.】

（3）虽然“长+宽=15 cm”不变，但是“长”随着“宽”的变化而变化（或者说“宽”随着“长”的变化而变化），因此“长”和“宽”的值有多少对？

（4）当每给定“长”的值时，“宽”的值能否确定？有几个值？

（5）当长分解为14 cm、12.5 cm、9 cm……宽的值能否确定？分别是多少？

【强调：由此可以看出，满足“长+宽=15 cm”的长方形的“长”和“宽”的值不确定，有无数对. 但一旦给定“长”的值，“宽”的值随之唯一确定，两者是互相制约的.】

意图通过师生对话，在“变化”中找“不变”，渗透函数概念的三要素：“在一个变化的过程中”“两个变量”和“单值对应”，为后面有效实施函数概念的教学打下必要的基础，同时为揭示二元一次方程的解的相关性和不定性做铺垫.

师：为了深入研究的方便，我们设长方形的长为x cm，宽为y cm，于是可以得到怎样的方程？

师追问：（1）这是什么方程？（众生：二元一次方程）

（2）你是根据学什么知识的经验来命名和定义的？为什么把方程x+y=15叫二元一次方程？什么样的方程叫二元一次方程？

意图引导学生分析新方程x+y=15的特点（并与一元一次方程作对比），揭示二元一次方程的本质：整式方程，含有2个未知数，未知数的次数都是1. （方式：生答师板书. 显然，这样的描述是不严密的，有待后面由学生自主调整）

师：二元一次方程与一元一次方程相比，只是多了一个未知数. 实际上，整式方程都是这样命名和定义的. 根据已有的经验，对于二元一次方程，我们还要研究它的什么内容？

意图引导学生进行知识迁移，自主归纳二元一次方程的解的意义：能使二元一次方程左、右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解.

师：如何求二元一次方程x+y=15的解？

【方式：在学生独立尝试的基础上，要求学生在小组里按下列要求进行交流：（1）说清楚你是怎么求的;（2）组长安排一位组员记录，另一位组员准备全班汇报. （比一比哪个小组的思路最清晰，表达最清楚）】

组1：我们先给x取一个数值，然后计算出y的值，就得到了二元一次方程的解，结果发现二元一次方程的解有无数个.

组2：我们把方程x+y=15先化为y=15-x，然后发现当x=14时，y=1;当x=12.5时，y=2.5;当x=9时，y=6……

师：两个小组的解法实际上都是把关于x，y的二元一次方程看作是关于y的一元一次方程. 即把x看作已知数，先给定一个x的值，再求相应的y的值，这一对x，y的值就是方程的一个解. 另外，由于x，y的值是相互制约的，所以记作x=14，

y=1;  x=12.5，

y=2.5;  x=9，

y=6 …

此处的省略号表示该二元一次方程有无数组解.

意图通过与一元一次方程作比较，引导学生进行知识迁移，自觉地给新方程命名和定义（事实上，学生都能由学习一元一次方程的经验，自觉命名新方程为“二元一次方程”）. 另外，通过自我比较和互相比较绷成的长方形的形状，学生发现长与宽的和虽相同，但长与宽的值不全相同，有无数对满足条件的长与宽的值. 这样，学生既能自主地体会二元一次方程的意义，又能感悟二元一次方程的解的意义和性质，从而自主建构新知（二元一次方程）.

2. 環节二：设问激疑，自主建构

思考1若要使绷成的长方形的长比宽多3 cm，此时的长x和宽y又必须满足什么条件？（生答：x-y=3）

师追问：（1）这是个二元一次方程吗？为什么？

（2）说说这个方程的解是什么.

（生答，师板书：x=7，

y=4;x=9，

y=6;x=12，

y=9…）

思考2这两个二元一次方程中的未知数x和y分别表示相同的量，也就是说，未知数x和y必须同时满足这两个二元一次方程. 我们把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，写成x+y=15，

x-y=3.

课堂练习下列方程组中，哪些是二元一次方程组？

（1）3x-4z=0，

x+y=7;（2）xy-y=5，

x+y=10;

（3）x=5，

2x+y=40.

生1：（1）不是二元一次方程组，因为它含有三个未知数，应该叫三元一次方程组.

师：非常正确！这位同學的知识迁移能力很强，由二元一次方程组联想到了三元一次方程组.

生2：（2）也不是二元一次方程组，因为方程xy-y=5中的xy这一项的次数是2，所以方程xy-y=5应该叫二元二次方程.

师：这位同学的知识迁移能力也很强. 但是根据前面归纳二元一次方程的定义中“未知数的次数都是1”的要求，xy-y=5应该还是叫二元一次方程.

【生思考】

师提问：问题出在哪里？定义应该怎么改？

生3：将“未知数的次数都是1”改为“含未知数的项的次数都是1”.

……

师：大家对方程组（3）有争议，但其实它是二元一次方程组. 那么什么是二元一次方程组？请大家用自己的语言来叙述.

师生共同小结：如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们就组成一个二元一次方程组. 如x=12，

y=9也是一个二元一次方程组.

师：你能猜想二元一次方程组x+y=15，

x-y=3 的解是什么吗？为什么这么猜想？

练习下面三组数值中，哪一组是二元一次方程组2x-3y=-8，

x+2y=3 的解？

A. x=2

y=4   B. x=1

y=1 C. x=-1

y=2

师追问：你是怎么判断的？什么叫二元一次方程组的解？

师生共同小结：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫这个二元一次方程组的解.

师：求二元一次方程组的解时，先分别求出各个方程的解，再找到公共解，这种方法叫列举法. 这种方法显然比较烦琐，那能否找到简捷而可靠的方法呢？

思考3以解方程组x+y=15①，

x-y=3② 为例，探究解二元一次方程组的简便方法.

【在学生独立探究的基础上，小组交流，最后全班交流】

生4：由①+②可以得到一元一次方程2x=18，求得x的值后代入上述任意一个方程，便可求得y的值.

生5：由①得x=15-y，把它代入②可以得到一元一次方程15-y-y=3，从而求得y的值. 之后代入x=15-y便可求得x的值.

师追问：这样做的依据是什么？

师：生1的方法是“加减消元法”，两方程相加的依据是“等式性质”;生2的方法是“代入消元法”，依据是“等量代换”. 两种方法的解题思想是一致的，即消元，转化为一元一次方程来求解.

意图将文章开头所提的长方形问题适当延伸，通过一系列激疑的设问、追问，让学生在有序的思考中感受，在感受的基础上进行理性的概括和提升. 这样不仅建构了相关概念和基本思想方法（二元一次方程组的意义、解的意义、解法思路和途径），而且激发了学生的深度思维和参与活力.

3. 环节三：共同回顾，总结提升

引导学生围绕问题思考与交流：（1）如何理解二元一次方程组的解的意义？（2）如何求二元一次方程（组）的解？（3）通过学习，积累了哪些重要的学习方法或经验？

师生共同总结，完善板书如图1.

意图引导学生从知识、技能、方法、思想、情感等多方面进行自主反思与内化（不是“灌”给学生的，而是自然“长”成的），从整体上架起结构，形成“结构性板书”. 这种包含了知识研究的逻辑体系（或者研究知识的基本套路）和思想方法的“结构性板书”，突出了知识的生成过程和包含关系，学生看了便一目了然，有利于整体把握相关知识和方法，力求实现“智慧不是别的，而是一种组织得很好的知识结构（俄·教育家乌申斯基）”.

4. 环节四：课外巩固，分层提高略.

教学反思

1. “用教材”——“学材再建构”的教材观

本节课的教学内容与教材相比，有了大幅度的调整，这显然不是“教教材”（“教教材”往往只是继承，教师被动地教，学生也被动地学，学为教服务）. 教材分二元一次方程、二元一次方程组两节进行教学，目的是分解教学难点（“实际问题—数学问题”的建模过程和二元一次方程组的解的意义）. 实际上，学生在学习“一元一次方程”时，就已经感受过“实际问题—数学问题”的建模过程，学习“求代数式的值”时，就已经在具体的探索过程中感受过变化的数量及其关系，初步感悟了函数思想，因此，将二元一次方程和二元一次方程组的有关内容有机融合在一起时，学生在知识和方法上都有一定的基础. 学生在学习了一元一次方程的基础上学习二元一次方程（组），就必须完成“一元”向“二元”的发展和“二元”向“一元”的转化，这是教学的难点，也是重点. 具体地说，一元一次方程的解是唯一的，而且是一个未知数的值，而二元一次方程的解不唯一，且每个解都是互相制约的一对未知数的值. 为此，给学生绷一个周长（即长与宽的和）为定值的长方形，让学生在自我比较和互相比较绷成的长方形的形状中，发现长与宽的和虽相同，但长与宽的值不全相同，有无数对满足条件的长与宽的值. 这样，学生既能自主地体会二元一次方程的意义，又能感悟到二元一次方程的解的意义和性质，从而自主建构新知——二元一次方程. 在此基础上，将实际问题数学化，分析求方程x+y=15的解的过程是将原方程变形为y=15-x（或x=15-y），把x（或y）看作已知数，先给定一个值，代入变形后的方程求出y（或x），实质上是将关于“x，y”的二元一次方程，转化成关于“y”（或“x”）的一元一次方程来解决. 弄清楚二元一次方程的意义和解，以及解的特性和解法后，再将长方形问题延伸至构建二元一次方程组的模型，引导学生探究其意义、解的意义和解法思路与途径，便是“水到渠成”了.

另外，“用教材”也体现在用好“学生资源”这种“教材”（准确地说应该是学生学习的“学材”）. 如为突破二元一次方程组的解这个教学难点，教学中，可引导学生先猜想二元一次方程组x+y=15，

x-y=3 的解是什么. 当学生有困难时，引导学生观察已经得到的两个方程的各个解，同时追问学生怎么猜想. 接着，让学生练习（找二元一次方程组的解），再次追问“你是怎么判断的”“什么叫二元一次方程组的解”，然后师生共同小结二元一次方程组的解的意义. 最后，让学生感受到用列举法求二元一次方程组的解的烦琐，自然而然地激发学生自主探究简捷而可靠的二元一次方程组的解法（学生自身潜在的丰富的认知力、情感力）.

2. “用教材”——“学材再建构”依据学情对“学材”进行“消枝强干”

对“学材”进行“消枝强干”，即对教学内容进行增删、强化或弱化处理等. “消枝”，即删除或减弱影响教学重点落实的“枝叶”（非重点内容）. 如二元一次方程及其解的意义不是本节课的重点教学内容，在得出二元一次方程及其解的意义后，没有常规的练习巩固和过多的纠缠，从而减弱其对教学重点的影响. “强干”，即增强教学重点内容的“主干”. 为了强化教学重点“二元一次方程组的解的意义、消元的思想方法”这一过程性目标的落实，应舍得花时间. 首先，应充分给予学生独立思考、观察和尝试的时间与空间;其次，引导学生在小组内按要求自觉地进行探究，或通过系列化激疑的设问、追问，让学生在有序的思考中感受，在感受的基础上进行理性的概括和提升. 这样不仅能自然而然地自主建构相关概念、基本思想方法，而且能激发学生的深度思维和参与活力.

3. “用教材”——“学材再建构”必须从三个“順应”入手

（1）必须顺应学生原有的认知基础

学习二元一次方程（组），必须要知道学生已有的认知基础，引导学生在具体情境中自主建构二元一次方程（组）及其解的意义等;根据学生解一元一次方程的经验，帮助学生自主探索求二元一次方程（组）的思想方法和理论依据.

（2）必须顺应学生的最近发展区

根据学生已有的发展水平，引导学生利用知识和方法的迁移，自主猜想二元一次方程（组）及其解的意义，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”变形转化为“x=a，

y=b ”的形式，从而实现学生自主探究，以旧引新，尽可能地达到潜在的发展水平（没有外部传递和灌输）.

（3）必须顺应学生的学习兴趣，激发参与热情，激活思维

如“长方形的形状和大小能否确定？这样的长方形有多少个？在这样的变化过程中，有没有不变的量或关系”“你能猜想二元一次方程组x+y=15，

x-y=3的解是什么吗？为什么这么猜想”等. 当学生对学习产生兴趣时，自然会主动地想去学，从而逐渐学会，乃至会学;当学生会学时，自然会兴趣盎然，学习兴趣和积极性会进一步得到激发. 当然，如果通过努力，问题始终得不到解决，那兴趣就不能保持，自主发展也就没有了空间.

“用教材”和“教教材”的根本问题是教学理念的冲突，即如何处理继承和创造的关系. “学材再建构”要求教师创造性地用好“教材”，引导学生自主接纳新认知，并融入原有的认知结构，在生生之间、师生之间深度交流，以激发火花，启迪思维，形成共识，产生创新成果. 显然，“学材再建构”必须与学生的学习基础和自学能力同步，与学生的知识体系、认知结构相匹配，与学生思维能力和思维品质的提升相呼应，与学生的学习兴趣和价值认同相吻合等.