吴玉红

摘 要：启发学生提出问题有助于学生积极学习与创新能力的培养。性质探究课堂中，以培养学生数学核心素养为理念，并存多种启发学生发现问题的活动方法，能更好地激发学生的创新思维。以“圆”（第1课时）的教学片段为例谈一谈在课堂教学时启发学生发现问题，渗透核心素养的培养。

关键词：初中；圆；问题；核心素养

一、研究背景

1.当前概念性质课教学存在的问题

一些教师上概念性质课时，会直接告诉学生概念和性质并让其记忆后大量练题。这样不能激起学生学习兴趣，也不能让学生理解掌握知识。有一些教师自己设计问题与学生逐个问题解答，或学生根据教师设计的问题探究活动。这种教师牵着鼻子走的课堂气氛不太活跃，也不能很好地激发学生的创新思维。新课标指出，培养学生创新意识的基础是让学生自己发现、提出问题。所以时下急需学生自己提出问题进行探究的概念性质课。

2.数学核心素养理论依据

数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质和关键能力。它包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析6个核心素养。学生的核心素养是在学习过程中形成的，但学生有什么样的学习过程取决于教师的教学设计。教学设计是教师思维的产物，思维受教学理念的驱动，所以教师在设计教学目标、情境引入、探究活动、驱动问题、评价方式时要关注核心素养的达成。

二、教学目标

1.对不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索中经历作图、观察、猜想、验证等过程，获得研究概念性质的一般方法。感悟分类讨论思想，增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力。（数学抽象、逻辑推理、数学建模）

2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。（直观想象、数学抽象、数学运算）

3.会过不在同一直线上的三点作圆。

设计说明：教师在制订教学目标时需以生为本，要充分关注数学核心素养的达成。

三、教学过程

1.创设情境，发现问题

师（问1）：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。月有缺和圆的时候，那么破碎的圆镜子有复原的可能吗？（配乐）

师（问2）：（呈现引例）今天早晨老师不小心摔碎了圆形镜子，只留下如图所示的一块，如果要到玻璃店里去配一块原来的模样，你有办法帮助复原吗？学了今天的知识后同学们便能轻松地解决。（板书3.12圆）

生：听清问题，不需回答。

设计说明：诗情画意和音乐声极大地调动了学生的学习兴趣，提出与月相似的破镜子复原的生活实例问题，激起了学生的求知欲。引出新课，并板书3.12圆。

师（问3）：引例中蕴含了什么数学问题？已知什么？求什么？

生1：已知一段圆弧，要求作出与原来一样的圆。

师（问4）：作圆需要哪几个要素？

生2：圆心和半径。

师（问5）：圆弧是一段曲线，那么怎样确定曲线圆弧或圆呢？我们有没有经历过类似的探究经验呢？

……

生3：两点确定一条直线。

设计说明：问3是让学生从生活例子中抽象出数学问题（如何确定一个圆），增强了学生的问题意识。问4引导学生明确，确定了圆心和半径，圆就确定了。这为后面说明“过不在同一条直线上的三个点的圆的唯一性”铺平了道路。问5为引导学生设计“探究几点确定一个圆”的问题方案埋下伏笔。

2.类比旧知，提出问题

师（问6）：请同学们设计出“经过几点确定一个圆”的探究方案。（投影）

生4：与“经过几点确定一条直线”的探究方法一样。

探究步骤为：

步骤1：经过1个点A，能作几个圆？（师完善问题投影）

步骤2：经过2个点A、B能作几个圆？（师完善问题投影）

步骤3：经过3个点A、B、C能作几个圆？（师完善问题投影）

经过4个点呢？……

师（问7）：老师也补充2个问题：怎样找出一个已知圆的圆心？探究“经过几点确定一条直线”的每个步骤时，我们是用什么方法探究的？（投影）

师：请同学们先看投影上的3个探究步骤和2个问题，并带着问题在讲义上作图探究，再6人小组合作交流，最后由小组长投影所作图像并汇报结果。

设计说明：问5和问6让学生由确定一段曲线（圆弧或圆）联想到确定一条直线的探究方法，用类比思想设计确定一个圆的问题方案。渗透了类比法，逐渐提高学生发现问题、提出问题、设计解决问题方案的能力。4个步骤中点数从少到多，点的位置从简单到复杂，这样的设计顺应了研究问题的方法是从最简单的开始，逐步变难。问7指明了学生的探究方向和探究方法（先画草图后观察）。

3.自主探究，分析问题

步骤1：经过1个点A，能作几个圆？

师：哪组组长第一个来汇报步骤1的问题？同时投影你们组推荐的图像作品。

生5：步骤1的结论是：经过1个点能作无数个圆（师投影板书）。

师（问8）：你们组呈现的图像中有好多大小不一的圆，那么怎样找出这些圆的圆心？

生6：圆心位置任意取，只要不是点A就行了。

师：谢谢该组精彩的汇报，请回！是的，只有确定圆心的位置和半径，才能确定一个圆。

步骤2：经过2个点A、B，能作几个圆？

师：哪组组长来汇报步骤2的问题？同时投影你们组推荐的图像作品。

生7：步骤2的结论是：经过2个点能作无数个圆。（师投影板书）

师（问9）：那么怎样找出这些圆的圓心？

生8：圆心位置除点A、B外，任意取。

师（问10）：（投影）请把这些圆的圆心用光滑线连接，看看是什么图形？

生9：是一条直线？

师（问11）：同学们观察一下这条直线与点A、点B的位置关系？

生9：是线段AB的中垂线。

师（问12）：如何证明是AB的中垂线呢？

生9：⊙O1中∵O1A=O1B（半径相等）∴圆心O1在AB的中垂线上。

⊙O2中∵O2A=O2B ∴圆心O2在AB的中垂线上。

∴直线O1O2是AB的中垂线。

师（问13）：那依据是什么？

生9：（投影）到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上。

师（问13）：那圆心在哪？

生9：由此可得，圆心在弦的中垂线上。（师投影板书）

师：同学们为该组的出色汇报竖起大拇指！请回！

设计说明：步骤2逐步引导学生发现圆心在连接两个已知点的线段的中垂线上，并证明，使学生经历作图、观察、试错、猜想、验证、归纳的过程，真正做到了以学生为本。当学生猜想错误时，教师通过追问10、11和13使学生通过作图、观察、发现圆心在弦的中垂线上，从而建立作圆心的模型，为步骤3的顺利完成做好铺垫。

步骤3：经过3个点A、B、C能作几个圆？

师：哪组组长愿意来汇报步骤3的问题？同时投影你们组推荐的图像作品。

生10：（投影）步骤3的结论是：经过3点确定一个圆。

师（问14）：那是怎样找到这个圆的圆心的呢？

生10：（投影）假设经过A、B、C3点的⊙O存在，由OA=OB可得圆心O在线段AB的中垂线MN上？由OA=OC可得圆心O在线段AC的中垂线EF上，则圆心O就是弦AB、AC的中垂线MN、EF的交点。则OA，OB，OC都是半径。

师：同学们对他们小组的汇报满意吗？致以掌声！同学们有没有不同意见补充？

生11：（投影）我这个为什么作不出圆？

师（问15）：让大家集思广益，看看能不能帮到你！

生12：（投影）过这样的三点作不出圆，因为线段AB、BC的中垂线是平行的，没有交点，就没有圆心，也就作不出圆。不重合的两条线相交有且只有一个交点。

师（问16）：Good！那么步骤3的结论是否要修改？

生13：（投影）不在同一直线上的三点确定一个圆！（师投影板书）

师：真棒！由于A、B、C三点的位置不确定，两点共线或三点共线，所以产生了分类，这里蕴含了分类思想。所以我们找到了确定圆的另一种方法。

设计说明：步骤3使学生发现圆心是两条线段的垂直平分线的交点（交规法）突破了难点中的唯一性。当三点在一直线上时，任意两条线段的垂直平分线平行，没有交点，即没有圆心，突破了难点中的存在性。进而得出圆的性质：不在同一直线上的三个点确定一个圆，既突破了难点，也完成了重点。学生在作图过程中发现三点共线不能作出圆的问题，提出问题并求救同学解决问题，不仅提高了学生问题发现和解决的能力，而且完善了圆的性质，必须是不在同一直线上的三个点，同时渗透了分类讨论思想。

步骤4：经过4个点A、B、C、D能作几个圆？

师（问17）：既然不在同一直线上的三点能确定一个圆。那么平面内4个点，过其中3个点能作几个圆呢？思考后作答。

生14：（如图1）当四点共线时，过其中三点可作0个圆。（如图2）过其中任意三点能作4个圆。

师（问18）：有谁能补充？

生15：（如图3）当四點都在圆上，可作1个圆。

师（问19）：同学们看看图2和图3中的任意3点有什么位置关系？

生16：任意三点不共线，所以过其中三点可作1或4个圆。如果有三点共线呢，嗯……过其中三点可作3个圆（图4）。

师：很棒！

板书：（1）当四点共线，则过其中三点可作0个圆。

（2）当有三点共线，则过其中三点可作3个圆。

（3）当任意三点不共线，则过其中三点可作1或4个圆。

设计说明：步骤4是对新知“不在同一直线上的三个点确定一个圆”和点位置分类讨论的深度应用。

4.呼应引例，解决问题

师（问20）：（投影）同学们！现在能帮老师复原镜子了吗？

生17：（投影）在圆弧上任取三点，任意连接两条线段，作这两条线段的中垂线，其交点即为圆心。

师：其实圆心也就是两条弦的中垂线的交点。（师板书）

设计说明：复原镜子是再次应用新知，呼应引入，预设学生轻松回答。

5.巧编例题，再引新知

（投影）例题：任意作三角形ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆？

师投影学生画得不太正确的图和清晰正确的图，让学生纠错和讲作法。

师提出“圆的内接三角形”“三角形的外接圆”和“外心”的概念，讲清“接”的意思。

设计意图：通过例2使学生巩固新知，同时引出“圆的内接三角形”和“三角形的外接圆”的概念。

师（问21）：请同学们前后左右看一看，大家画的过三角形顶点的圆中有什么新发现？

生18：圆心在三角形的位置不同？

师（问22）：这里圆心指外心，即外心与三角形之间位置有什么关系？

生19：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。（师板书）

师（问23）：图二中，若AB=3，BC=4，则它的外接圆半径是多少？

生20：半径是2.5，因为直角三角形的外心是斜边的中点。

设计说明：把例题中的锐角三角形改变成任意三角形，整合了课后习题。让学生观察周围同学画的过三角形顶点的圆，发现外心位置与三角形的类型有关，进而提出问题、解决问题，这种教法既达到了教学目的，又节省了作图时间。问23直接应用所得结论。

6.应用实例，拓展提高

（投影）设计师通常用“T”字尺（如图，AB恰好被CD所在的直线垂直平分）来找已知圆的圆心，你知道他是怎样找的吗？你任意画一个圆，请用手中的“T”字尺找它的圆心。

师（问24）：请同学们来展示你是如何用手中的“T”字尺找到你所画圆的圆心的。

生21：在投影上摆出如图一的样子，圆心就是AB的中垂线CD与A'B'的中垂线C'D'的交点。

师（问25）：有没有不同情况？

生22：老师！为什么我画的圆没法找到圆心？

师（问26）：你在投影上演示一下，让同学们看看是什么问题？

生23：他画的圆的直经比AB短，所以AB就不能摆成圆的弦了。

师（问28）：那要怎么摆，才能解决这个问题？

生24：只要量的使AE=BF，A'E'=B'F'，圆心就是EF的中垂线CD与E'F'的中垂线C'D'的交点。

设计说明：让学生自己画圆，就有大有小，当学生画的圆的直径小于AB时，不少学生就会摆不出弦，就无法找到圆心，通过线段和差摆出弦EF和E'F'，说明学生已真正掌握“T”字尺的原理，也真正掌握了今天所学的知识，圆心是圆的两条弦的垂直平分线的交点。学生在作图和操作过程中发现问题，提出问题，解决问题，增强了学生的问题意识。用所学知识解决生活中的问题，真正做到了数学来自于生活，并用之于生活。

四、教学思考

1.启发学生发现问题的活动方法应多元化

苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处都希望自己是一个发现者……”核心素养数学建模中的首要任务是发现问题，提出问题。新课标中培养学生创新意识的基础是让学生自己发现问题和提出问题。所以教师要创造能有效启发学生自己发现问题的活动和问题，并注意活动方法的多样性，使学生乐于参与到学习活动中，从而增强学生的问题意识，培养学生的创新能力。

创设有效生活情境让学生从生活实例中发现问题，并抽象出数学问题。如把破碎的镜子复原，启发学生发现并提出問题：怎样确定一条曲线（圆或圆弧）？

类比已学知识的探究方式设计学习新知识的探究方案。如学生能根据两点确定一条直线的探究方式设计几点确定一个圆的探究方案？

学生在作图过程中发现问题。如探究活动步骤2中，学生先尝试多画几个过A、B两点的圆，就有可能发现这些圆的圆心位置有什么共同特征？尝试连线，学生可能发现这条直线与线段AB有什么关系？又如步骤3中，有学生把三点画在同一条线上时，发现问题：作不出圆心？为什么找不到圆心？再如步骤4中，学生在画四个点的时候，发现问题：由于四个点的位置不同，要分类讨论？

学生在观察中发现问题。如例题让学生画任意一个三角形的外接圆，由于不同学生画的三角形可能是不同类型的。这样让学生观察前后左右同学的作品，会发现问题：外心的位置与三角形的类型有什么关系？

学生在作图和操作过程中发现问题。如拓展题中，让学生任意画圆，然后用自制的丁字尺摆放作出圆心，由于圆是任意画的，学生会发现问题：当圆的直径比丁字尺的长度短时，该怎么找圆心？

这些启发学生自己发现问题，提出问题的方法是自然的，让学生在学习活动过程中自然发现问题。这种培养学生的问题意识和创造意识的方式真正做到了润物细无声。

2.发展数学核心素养要重视数学探究活动

波利亚有言：“学习知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现最深刻，最容易理解掌握其内在规律、联系和性质。”数学探究活动是提升数学核心素养的重要载体。所以提升核心素养的保证是提高教师对探究活动的组织能力。教师不仅要提供丰富的学习资源，而且要指引有效的方法，提出具有启发性、开放性、挑战思维的问题，引导学生积极参与，疏导学生因争执发生的分歧，使学生思维更敏捷灵活。本节课中，如当学生类比旧知的探究方法制定新知的探究方案时，教师补充2个问题：怎样找出一个已知圆的圆心？探究“经过几点确定一条直线”的每个步骤时，我们是用什么方法探究的？在每个探究步骤中，问1为学生指明探究方向，问2为学生指引有效的探究方法。学生类比制定探究方案发现提出问题，经历四个步骤探究分析思考，展示活动中提炼归纳圆的性质，在整个过程中提升了数学抽象和数学建模的核心素养。

3.打开几何之门要渗透数学思想方法

数学思想方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。这种只重视传授知识，不注重渗透数学思想方法的教学，是不利于学生对知识的理解和掌握的，难以提高学生的知识水平。所以教师要寓数学思想方法于每一节课中，让学生在不知不觉中提升了问题解决能力。本节课中，分类思想有很好的体现：三点和四点的位置不同，就产生分类；例题中由于三角形形状类型不同，就产生外心与三角形位置不同的分类；拓展题中由于学生自己作圆的半径与丁字尺的长度谁长，就产生分类。类比旧知的探究方法制定新知的探究方案，点数逐步增多的方法（由简单到复杂）研究问题，其中隐含的数学方法对以后解决学习、生活中的问题提供了策略指导。

参考文献：

王开林.微专题引领高效数学复习[J].数学通讯，2017（2）：17-21.

编辑 谢尾合