张明鼎

1 7 =0.142857

1 23 =0.0434782608695652173913

我们考查这两个数，可以发现循环节中数字个数都比分母少1.而且把它们循环节中数字对折起来，再对应相加和都是9.

例如，

142

+ 857

999

04347826086

+ 95652173913

99999999999

类似这样的数还很多，例如， 1 17 ， 1 19 ， 1 23 ，…， 1 109 ， 1 113 ， 1 223 ， 1 229 ，……以及其他真分数，十七分之几，十九分之几……二百二十九分之几等等.

象7，23这些数作分母的最简分数，循环节小数中一节的数字个数比分母少1.且对折起来相加和都是9.这究竟是什么道理呢？可以证明吗？类似7，23这样的数究竟有多少？有没有一个统一的公式呢？

我们既然是研究循环小数的循环节中的一节的数字个数比分母少1.且对折起来再对应相加和都是9.就首先应该考虑循环小数的循环节中的一节的数字个数有哪些特征.因为事物的发展总是起源于事物的内在本质.所以通过观察很明显的看出一节的循环节中的数字个数的组合就象一段自然数那样呈奇、偶位个数（此循环节的位数由做分母的质数确定的）我们要研究的是循环节中一节的数字个数能够对折，所以这一节的循环节的数字个数的组合就必须是偶数位个数字.

在我们过去学习除法时，大家都知道循环小数的循环节的数字由整数商后的余数确定的.却忽视了除数的每一个余数与整数商的小数的对应关系.那么在这里介绍一下什么叫余数，在除式中小于除数的数（不计小数点位置）叫余数.在一段余数中的余数小于分母绝对不能重复出现.

什么叫循环余数：一个除数的余数部分在除式当中从某一个数字起一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的余数叫循环余数.

什么叫余数段：一个循环余数的余数部分中依次不断地重复出现的数字叫作这个循环余数的余数段.

什么叫有限余数：余数的个数是有限的叫有限余数.

没有无限余数.

纯循环余数：余数段从余数的第一数字开始的循环余数叫作纯循环余数.

混循环余数：余数中第一余数与余数段之间有一个或几个不循环的余数数字叫作这个循环余数的混循环余数.

我们知道分子与分母两个数是互质数，不能够整除.就必须有余数，有了余数才可能有小数，有了循环余数才能有循环小数，有了余数段才能有循环节，所以有循环节小数中，循环节的一节数字个数与循环余数中余数段的一段数字个数一一相对应.它们是一对孪生姊妹，并且根据除法法则，每次除得的余数必须比除数小，所以按以上对应关系循环节小数中一节的数字个数必定要比分母少1个或几个数，对某个质数来说，究竟少几个数字是不一定的由做分母的这个质数来决定.

所以象7，23这些数做分母的最简分数循环节小数中一节的数字个数比分母少1，且能够对折起来，是属于循环节中偶位数个数字组合规律.那么把属于偶位数个数字组合的循环节中一节的数字个数对折起来，再对应相加和都是9又为什么？我们已知道了余数段与循环节之间的对应关系，反过来问，在余数段中的余数对应对折起来相加和又等于什么呢？因为余数小于除数（分母），所以在余数段中一段数字对应对折相加和只能大于、小于或等于分母（除数）注：在计算过程中不去考虑余数中小数点所在位置.只看对应关系.所以我们分别来证明在余数中，一段余数的数字对折相加和大于、小于或等于分母.

例如，

A P 互质，1≤A

A=R6=R（P-1）（注在余数中，一段余数的循环余数与另一段余数的循环余数对应相等，不计算位置，不计算数量，根据除数定义，余数小于除数，分子小于分母，分子是分母中的余数）.

R1=R11，R2=R22，R3=R33，RP-1=R（P-1）1.

以上这段余数为3、2、6、4、5、1（不计余数缩小位置）对应对折.

R1，R2，R3，R4，R5，…，RP-1=ai（ai表示一段余数的集合）.

设有一个最简分数 A P ，1≤A

求证：① R1+{R2R3R4…RP-1}>P;

② R1+{R2R3R4…RP-1}

③ R1+{R2R3R4…RP-1}=P.

证明  假设在这段余数段中，对应对折相加和大于分母P.

即R1+R2>P，R1+R3>P，R1+RP-1>P，

要想使等式成立，那么分母最小要减去整数1.

即R1+R2=P-1，

R1+R3=P-1，

R1+RP-1=P-1.

∵R1+R2=P-RP-1，

∴R1+R3=P-RP-1，

∴R1+RP-1=P-RP-1，

∴R1+2（RP-1）=P，

∴在这段余数中会同时出现两个相同的RP-1与余数定义相矛盾是假命题.

求证：R1+R2

證明  假设在这段余数段中对应对折相加余数和小于分母P.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

那么要使公式成立分母最小要加上整数1.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

∵ A P 互质，1≤A

∴R1+R2=P+RP-1，

R1+R3=P+RP-1，

R1+RP-1=P+RP-1，

∴R1+RP-1-RP-1=P，

∴R1=P.

∵R1

通过以上证明在余数段中，两个余数对应对折相加和不能大于或小于分母.

求证：R1+R2=P，R1+RP-1=P.

证明  ∵在计算余数段余数对应对折时，不考虑余数位置.

∵R1÷P=M1…R11，

R2÷P=M2…R22，

RP-1÷P=MP-1…R（P-1）1.

∵R1=R11，R2=R22，RP-1=R（P-1）1，

所以，符合循环余数的定义.

∴R1+R2=P，R1+RP-1=P，

所以，在一段余数中，对折对应相加的两个余数和等于分母.

1 7 =0.142857

326

+ 451

777

我们经过证明既然得出在循环余数的余数段中能够对应对折相加的余数和等于分母，那么为什么它的循环节小数的循环节中一节的数字个数对应对折相加是9呢？

设：最简分数 A P ，A与P互质，R1，R2，…，RP-1是循环余数，如果在循环余数的余数段中一段数字对应对折相加的余数为R1，RP-1且R1+RP-1=P.

那么循环小数的循环节中一节的数字个数中对应对折相加的一对小数为M1M2（在计算过程中余数与循环小数都不考虑小数点位置，只看对应关系）.

求证：10（M1+M2）=9.

证明  ∵R1+RP-1=P，

∴R1+RP-1=M1…… R11 10  R11是第二段余数中余数，

∴RP-1÷P=M1…… R（P-1） 10 R（P-1） 1是第二段余数中余数.（R（P-1）1是R（P-1）1），

∴R1=Rm1+ R11 10 = 10Pm1+R11 10 （注10Pm1是10Pm1），

∴RP-1=Pm2+ R（P-1）1 10 = 10Pm2+R（P-1）1 10 （注10Pm2是10Pm2），

∴ 10Pm1+R11 10 + 10Pm2+R（P-1）1 10 =P，

∴10Pm1+R11+10m2+R（P-1）1=10P，

∴10P（m1+m2）+R11+R（P-1）1=10P.

又∵R11，R（P-1）1是下段余数段中的两个对应对折的余数，且它们的和也等于分母.（在计算时中只看对应关系）.

∴R11+R（P-1）1=P，

∴10P（M1+M2）+P=10P，

∴10P（M1+M2）=10P+P，

∴10P（M1+M2）=9P，

∴10P（M1+M2）=9.

（为什么是10倍的和呢？因为M1+M2的和是小数，也就是说循环小数的循环节中对应对折和是9，是小数部分的9.）

像7，23这样的数究竟有多少个？

我们知道偶数位个9（1-10-2nn是自然数）组成的数能被某个质数整除，它的循环节就是偶数位数字，也就是偶数位个9组成的数能被这个质数整除的商的个数等于这个质数做分母的一节循环节的个数，根据循环节与余数段的一一对应关系，余数就有偶数位数字，以前证明了偶数位个余数对折应相加和等于分母，所以偶数位个9组成的数（1-10-2nn是自然数）能被某个质数整除，它的循环对折对应和一定是9.

统一公式可以看作 1-10-2n P .

结论：像7，23这些数作分母的最简分数，循环节小数中一节数字个数比分母少1，且对折起来对应相加和是9，是循环小数的一种特征.是由做分母的质数来确定的（分子与分母两个数是互质数，不能整除，就必须有余数），实际上在除式中，余数决定小数有了循环余数，才能有循环小数，有了余数段才能有循环节，所以循环节小数中，循环节的一节数字个数，与循环余数中余数段的一段数字个数一一相对应，它们是一对孪生姊妹，并且根据除法法则，每次除得的余数必须比除数小（余数小于除数）除数是分母，分子是分母中的余数，按照循环余数与循环节的对应关系，所以余数的个数就比分母这个数少1个或几个数，究竟少几个数是由做分母的质数来确定的，那么循环节小数中一节的数字个数就要比分母少1或几，经过证明只要把余数段，余数中一段的数字个数对折起来，再对应相加和等于分母.它的循环节小数中一节的数字个數对折起来再对应相加和一定是9（在计算过程中不考虑余数缩小的倍数及小数点所在位置只看对应关系）象号23这样的数有很多个，只要由偶数位个9组成的数能被这个质数整除.那么不管这个质数做分母时，是真分数还是假分数，它的循环节一节数字对折对应相加的和一定是9，即 1-10-2n P .