邱廷月

【摘要】 导数的几何意义是函数中的一个重要知识点，也是新课标的考查内容.在《导数及其应用》的学习中，经常会碰到关于导数几何意义应用的题型，笔者尝试以小专题的形式加以总结，旨在从纷繁的题目中提炼出一些模型，帮助学生建构知识体系，提高学生的学习效率.

【关键词】 导数几何意义;数形结合;应用

一、求曲线的切线方程

例1   （1）求曲线C：f（x）=x3-2x在点P（1，-1）处的切线方程;

（2）求曲线C：f（x）=x3-2x过点P（1，-1）的切线方程.

解析  （1）因为f′（x）=3x2-2，所以f′（1）=3-2=1，

于是曲线C在点P处的切線方程为y-（-1）=x-1，

即x-y-2=0.

（2）设切点为A（x0，x30-2x0），则f′（x0）=3x20-2，

所以曲线C在点A处的切线方程为：y-（x30-2x0）=（3x20-2）（x-x0）.

又因为点P（1，-1）在切线上，

所以-1-（x30-2x0）=（3x20-2）（1-x0），

解得x0=1，或x0=- 1 2 ，

所以切线方程为x-y-2=0或5x+4y-1=0.

点评  本题是利用导数几何意义求切线斜率，从而确定切线方程，这是常规思路.在审题时要注意：“求在点处的切线方程”，还是“求过点处的切线方程”.若是“求在点处的切线方程”，则给定的点为切点，求出切线斜率，写出直线的点斜式方程.若是“求过点处的切线方程”，则给定的点不一定为切点.求切线的基本方法：① 设切点;② 求出切线方程;③ 代点（已知点）;④ 解方程.

二、距离最值问题

例2   已知函数f（x）=lnx，g（x）=x，P，Q分别为f（x），g（x）图像上任一点，则|PQ|的最小值为 .

解析  问题可转化为求f（x）图像上的点到直线y=x的最小距离，即曲线f（x）上斜率为1的切线的切点.

设切点坐标为（x0，lnx0）.

由y=lnx得y′= 1 x .令 1 x0 =1，解得x0=1.

故曲线f（x）=lnx上的点M（1，0）到直线y=x的距离最小，且最小距离为d= 1  2  =  2  2 .

点评  将曲线上的动点到定直线的最小距离问题转化为求曲线上斜率已知的切线的切点问题，解题的工具即导数的几何意义，这是导数几何意义的重要应用.

变式  设函数f（x）=（x-a）2+（lnx-a）2，其中x>0，a∈ R ，存在x0使得f（x0）≤ 1 2 成立，则实数a的值是 .

解析  由题意得，函数f（x）表示动点M（x，lnx）和动点N（a，a）间的距离的平方.其中动点M（x，lnx）在函数y=lnx的图像上，动点N（a，a）在直线y=x上.问题可转化为求曲线y=lnx上的动点到y=x的最小距离.

由y=lnx得y′= 1 x .令 1 x =1，解得x=1.

故曲线y=lnx上的点M（1，0）到直线y=x的距离最小，且最小距离为d= 1  2  =  2  2 .

由题意可得f（x）≥ 1 2 .根据题意存在x0使得f（x0）≤ 1 2 成立，则f（x0）= 1 2 ，此时点N（a，a）恰好为垂足，

由kMN= a-0 a-1 =-1，解得a= 1 2 .

点评  本题从所给函数的几何意义出发，将问题转化为曲线上的点到直线的最小距离来处理，根据导数的几何意义求得最小距离后，又将条件中给出的能成立的问题转化为恒成立的问题，从而根据两点间连线的斜率求得参数值.解题中要根据题目中给出的条件进行适当的转化，以使问题得到解决.

三、零点个数问题

例3   已知函数f（x）=  1 4 x+1，x≤1，lnx，x>1，  若关于x的方程f（x）=ax恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 .

解析  因为方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，所以函数y=f（x）与y=ax的图像有2个交点，可求得直线l与曲线y=f（x）相切时的切点为（e，1），斜率为 1 e ，

又因为直线m与直线y= 1 4 x+1平行，所以直线m的斜率为 1 4 ，

如图1所示，故实数a的取值范围是  1 4 ， 1 e  .

点评  通过方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，转化为y=f（x）与y=ax有2个交点，求出a的取值范围，即求满足条件的斜率的取值范围.其中a的一个分界点为直线与曲线相切时，利用导数几何意义求出此时的斜率.零点个数问题可以转化为方程根的个数问题，还可以转化为两函数图像交点个数问题，当其中有一条曲线为直线时，求分界点时通常可以借助导数几何意义求解.

例4   若函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围为 .

解析  函数f（x）=x（lnx-ax），

令f′（x）=lnx-2ax+1=0，得lnx=2ax-1，

所以函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，

等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图像有两个交点，

在同一坐标系中作出它们的图像（如图2所示），

则当a= 1 2 时，直线y=2ax-1与y=lnx的图像相切，

由图2可知，当0

点评  把极值点问题转化为函数y=lnx與y=2ax-1的图像有两个交点的问题，利用数形结合和导数几何意义求解.

四、不等式恒成立问题

例5   （2016全国Ⅱ）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求实数a的取值范围.

解析  即当x∈（1，+∞）时，（x+1）lnx>a（x-1）.

令g（x）=（x+1）lnx，h（x）=a（x-1），

f′（x）=lnx+ x+1 x -a，

则原问题可转化为：当x∈（1，+∞）时，曲线g（x）始终在直线h（x）的上方，

g′（x）=lnx+（x+1）· 1 x =lnx+ 1 x +1，

g″（x）= 1 x - 1 x2 = x-1 x2 >0，

所以g′（x）在（1，+∞）单调递增，g′（x）>g′（1）=2>0，

所以g（x）在（1，+∞）单调递增，在同一坐标系中作出它们的图像（如图3所示）.

当a=2时，曲线g（x）与直线h（x）相切，于是a≤g′（1）=2，即a∈（-∞，2].

点评  本题是不等式恒成立问题，不等式恒成立问题在某种意义上和曲线与切线、曲线与曲线的位置关系有关.利用数形结合思想加以解题，避开了分类讨论，更直观.

例6   已知函数f（x）=e2x-ax2-ax+e2（其中e是自然对数的底数）在（-∞，+∞）上不存在极值点，则实数a的取值范围为 .

解析  原问题可转化为：f′（x）=2e2x-2ax-a≥0在（-∞，+∞）恒成立，即2e2x≥a（2x+1）在（-∞，+∞）恒成立，

令g（x）=2e2x，h（x）=2a x+ 1 2  ，

则原问题可转化为：

曲线g（x）始终在直线h（x）的上方，

又因为动直线h（x）过定点A - 1 2 ，0 ，所以如图4所示，

当直线h（x）在x轴与曲线g（x）的切线l之间转动时满足题意.

设g（x）与直线l相切于（x0，2e2x0），

由 4e2x0=2a，2a x0+ 1 2  =2e2x0，  解得a=2，所以a∈[0，2].

点评  本题把函数极值点问题转化为不等式恒成立问题，进而转化为曲线与直线的位置关系，利用数形结合思想求出分界点，使得问题得以简化，这是导数几何意义的重要应用之一.

以上从六个例题对导数几何意义的应用做了四个方面的透视，这些试题均以导数几何意义为工具，很好地呈现了函数的单调性、极值、最值、图像等问题，并与相关知识融会贯通，充分体现了函数、导数、不等式、方程之间的联系.不难看出，利用导数几何意义解决问题的主要思想方法是“数形结合思想”和“转化思想”等等，这需要我们不断积累经验，在学中做，在做中思，在思中悟.