孙为民

（南京大学物理学院，江苏南京210093）

核子自旋结构问题的研究，自20世纪80年代后期发轫以来，在实验与理论的交互推动和促进下有了骄人的发展［1］，在高能物理现象学界，形成了“高能自旋物理”独特的小型专业领域。JI［2］的原创性基础研究首次给出了核子自旋的规范不变分解方案，多年来，此方案被学界公认为最标准的分解形式，指引着自旋物理的研究方向和工作脉络。2008 年，CHEN 等［3］提出并建立了一种新的、完全QCD意义的核子自旋分解的整体性方案，在自旋物理领域引发了一股热潮［4-5］。 此后，研究者从不同角度，改进和发展了CHEN等的方案，并提出不同的意见和看法，极大地丰富了现有的知识结构与理论体系。其中LEADER［6］独树一帜，认为CHEN等［3］坚持的“规范不变性”完全没有必要，现实规范理论中，甚至连一个物理系统的总动量、总角动量算符也并非规范不变的。因此，他认为坚持“规范不变性”的分解原则是多余和不足取的，在构造一般意义的动量、角动量分解方案时，最基本的要求是“各部分的动量、角动量算符”是“相应的粒子场算符的平移、转动生成元”。据此提出最原始的“正则形式”的总动量和角动量分解方式才是自然和物理上唯一正确的。此后，CHEN［7］回应并指出，如果定义与考虑“物理的规范场、费米子场”算符，那么，文献［3］中的“动量、角动量算符”自然也满足这一“生成元判据”。文献［7］讨论的情形，实质上是限于所谓的“库伦规范”的 GIE（Gauge invariant extention，规范不变扩展形式），从数学角度看，这种所谓的“物理场”算符，就是通常所说的“Dirac变量”。文献［4］认为，对于一般的 GIE（即推广的Dirac变量），这种“生成元判据”自然是满足的。因而，这一点似乎已经有了“定论”。

本文将重新探讨这一问题。事实上，“生成元判据”的检验，需用到量子化场算符的“等时对易关系”，而在规范理论中，选择不同的量子化规范，会有不同的“算符等时对易关系”，产生的Hilbert空间都不一样。Dirac变量（也就是GIE）是规范不变的，它们之间的“等时对易关系”，也不一定就是“标准形式”。 然而，文献［4］却完全默认了这一点，自然认为这种“生成元判据”一定满足物理场。原则上，应从特定规范下的算符量子化方案出发加以检验。规范场理论对一般规范条件下的（算符）量子化形式无统一的处理方法，通常是对给定形式做特定的讨论。一般而言，任意2种不同规范下的量子理论的联系，即所谓的“量子规范变换”，是非常困难的，早在 20世纪 70年代，STROCCHI等［8］就提出了基本理论框架，描述了“量子规范变换”的构造语言，其中讨论的是量子电动力学，但并未得到一般情形的显式构造。本文将针对检验规范场理论中“生成元判据”的基本问题，在最简单的“自由电磁场理论”中，选取一类较普遍的“静态规范”作为实例，采用构造性方法，建立从“库伦规范”到“静态规范”的“量子规范变换”。然后，讨论新规范下的自由电磁场量子理论，包括 Poincaré群生成元的具体构造，并检验这种生成元判据的正确性。主要工作包括两部分：首先，建立理论构造的基础，对于电磁场的量子理论，本文所得的构造形式是新的；然后，用此理论具体分析“生成元判据”问题。本文讨论的是最简单的规范场系统，即自由电磁场，结果表明，这种“生成元判据”的成立依赖于具体的“规范条件”，即特定 GIE场的“定义条件”。本文工作对规范场理论以及核子自旋结构研究，均有一定的参考作用。

1 量子规范变换基本形式

本节的主要目的是建立“量子规范变换”的构造形式。 首先，依照文献［4］的观点，即规范势Aμ的“规范不变扩展”，将某一特定“经典规范条件”下的Aμ用场强Fμν表达（往往是一个非定域形式的积分表达式），使其成为“规范不变式”，与“洛伦兹不变扩展”类似。比如，一个相对论性粒子的“静止质量”平方满足：pμpμ=m2，从任何一个惯性参照系（假定考虑狭义相对论的平直闵可夫斯基时空）中看都是不变的。 GIE的基本实例，即“库伦规范GIE”。 库伦规范条件：∇iAi=0，可以唯一确定规范势Aμ（只要加上物理的边界条件：Aμ(x,t)||x|→∞=0），利用Fμν= ∂μAν- ∂νAμ，就可以得到库伦规范中的电磁势

式（1）称为“库伦规范 GIE”。 在自由电磁场情形下，式（1）可化为

其中，A⊥i是矢量势Ai的横向部分。在核子自旋结构问题的研究中，提出了多种GIE形式，有“光锥规范条件”A+=0的 GIE，“轴规范条件”A3=0的GIE等［9］。这些都是为特定目的设计的。在LEADER提出的规范场理论中，认为动量、角动量算符分解的“生成元判据”是“适用于物理的规范场和费米场算符”的，因而是正确的。这里的“物理场”等同于数学上“推广的 Dirac变量”，其实，就是GIE表达式，即“规范不变的场”。在特定规范条件（即GIE的“定义条件”）下，自然回到了原有的Aμ场。本文工作中，笔者试图从根本上进行检验，则需要研究由“GIE算符”出发的生成元算符的构造，及其之间的基本对易关系。GIE场事实上代表了特定规范下的规范势，因此，需要从这一类特定规范下的“量子规范理论”出发进行讨论。

STROCCHI等［8］所建立的理论框架为量子电动力学的“量子规范变换”提供了一种普遍性的语言，但他们并未给出任意2个“规范条件”下相应“量子电动力学理论”之间明显构造性的联系形式。本文将在一定意义上，从标准的库伦规范到较为广泛的“静态规范”之间，针对自由的电磁场理论建立“量子规范变换”的明显构造形式，并讨论这类“静态规范”下的量子化电磁场理论，包括Poincaré变换生成元的具体构造方式，从而明确回答了“生成元判据”是否成立这一问题。

“静态规范”是指这一形式的“线性规范条件”：PiAi=0，其中，Pi=(P1,P2,P3)是一个三分量的常数或微分算子，不包含对时间变量的微商运算，要求Pi中不显含时间或空间坐标（从而排除了Poincaré规范x⋅A=0这类情形），目的是保持整体理论表述形式的时空平移不变。

特定规范下的GIE，实质上就是此规范下的Aμ场。PiAi=0规范下的APμ场，同库伦规范∇iAi=0下的ACμ场，由于对应于同样的场强Fμν，两者之间，必然相差一个标量函数的四维梯度［10］：

其中，标量函数f(x)实质上是依赖于场位形的。取式（2）的空间分量：，再由条件，就有

式（3）为决定未知函数f(x)的一个非齐次偏微分方程，可用标准的格林函数法求解，得到

具体采用哪一种格林函数，由边界条件决定。于是，有

类似地，由

得

最后，有

接下来建立“静态规范”PiAi=0下的量子场理论。规范场量子化问题的讨论，实质是独立自由度的考虑和量子场Hilbert空间的建立。通常在库伦规范量子化中，只有2个横场自由度被量子化，生成的Fock空间，只包含横极化光子态，而在洛伦兹规范量子化中，Aμ的4个分量皆被量子化，生成的量子态 Fock空间中，包含4种极化光子，且具有不定度规。

借助经典场意义的对映关系式（5）和（7）来构造PiAi=0规范下量子理论的基本思想。若库伦规范势ACμ中包含2个横向的物理自由度，那么，由式（5）和式（7）所构造的APμ亦如此。 既然，物理自由度数目一样，那么，可以直接在原有的“库伦规范的Fock空间”上，建立“新规范PiAi=0”的量子理论。下面将进行具体描述。

取定库伦规范量子化的Fock空间。此Fock空间有唯一的真空态和一套完整的横场算符的集合。理论上，任何一个物理态都可由场算符的多项式作用于真空态而得到。定义一种新的量子规范势算符APi：

这在数学上无疑是正确和可接受的，从物理意义看，无非是从原有的库伦场出发定义了一套新的场，是在场算符的意义上而非经典场函数的意义上定义的，此过程自然保证满足“算符规范条件”：0。 注意，此过程没有改换 Hilbert空间，即Hilbert空间始终没变，只是定义了一套新的场，满足另一种“规范条件”罢了。再定义：

于是，一套完整的“规范势算符”APμ(x)构造成功。

以上便是本文工作基础构造的出发点。虽然，规范条件PiAPi=0的形式有无穷多种选择，原有的库伦规范Fock空间上，就有无穷多套新规范势算符APμ，但其对应的“场强算符”却完全相同，均为

先看场算符之间“等时对易关系”的形式。库伦规范量子化中，共轭场变量为(AiC,EiC)，其中电场为其间的标准等时对易子为

利用式（8），同时记EPi=ECi，可得

注意到，式（16）右端不再是标准的“三维横向Diracδ函数”形式，这是因为需要与“算符规范条件”PiAPi=0相一致。在一般的静态规范下，有可算出之间的等时对易式。利用式（8），就可得

其中，仅涉及横波极化和相应的自由光子态的产生湮灭算符。由式（8）可得

式（19）为“扭曲的平面波展开”式。

下面讨论新的量子化方案（规范条件PiAi=0决定的量子化形式）的定域性问题和微观因果性问题。众所周知，库伦规范下电磁场的量子化理论不是“定域”的，对任意2个时空点x,y，有

显然，一般情形下，此“对易子函数”对于类空间隔的两点也是非零的。因此，新规范下的理论也是非定域的。但是，与库伦规范相同，电磁场场强算符在类空间隔两点处总是对易的，则新规范下的理论也满足“微观因果性”的要求。

接下来，讨论 Poincaré变换生成元。 原有的“库伦规范”量子化中，理论上Fock空间承载了Poincaré群的一个无限维幺正表示。有10个守恒的 Poincaré群的生成元算符，即能量算符（哈密顿量算符）、动量算符、角动量算符、boost生成元算符等。在规范场理论的动量与角动量分解问题中，笔者关心的是动量、角动量算符。下面先构造哈密顿算符，因为，依照形式场论的观点，哈密顿算符应该是理论上的时间平移生成元。

因物理自由度仍是2个，Hilbert空间也没有变动，依据“规范不变性”的要求，有

由式（8），有

由式（8）的变换关系，易得

本文的理论构造，实质上就是在库伦规范量子化的Fock空间上，复制出一套“静态规范”0的自由电磁场量子理论。由于规范条件0的形式无限多，因此相应的“理论复本”也有无限多个。比如，可取“扭曲的库伦规范”：cij∇iAj=0，其中cij是一组数值系数，满足对称性要求：cij=cji，这类“规范条件”由cij来标记。其实，如果数值系数连续变化，“规范条件”样式就是连续的流形，若允许有更多的选择，整体结构会异常丰富，而所有“规范理论的复本”都是定义在原库伦规范的Hilbert空间上的。因此，可讨论从一种“理论复本”到另一种“理论复本”之间的过渡，或曰变换。很明显，这种两两变换的体式，形成了一个“变换群”，与前文的讨论结果一样，这种变换不是通过Fock空间上的幺正变换来实现的。无论从数学角度还是量子规范场论角度看，这样的研究都是有意义的。

2 生成元判据

文献［4］所言的“物理的规范场”，其实就是GIE场。从横场算符的角度看，库伦规范场ACi是“规范不变的”，依据式（8）和式（9）的构造，新的场，也是规范不变的。前文已经建立了量子化的理论要素，这里研究“自由电磁场”，因此，不存在“分解问题”（除总角动量分解为轨道和自旋部分外），需要说明的是，即便是“整体的动量、角动量算符”，也有非平凡的现象出现。

先看“动量算符”。在原有的库伦规范中，有

式（29）反映了理论空间平移不变的特点。规范条件PiAPi=0的构造式中，Pi是不显含时空坐标的，因此，此“规范条件”是空间平移不变的。利用式（8）中的构造，可得

于是，动量算符P同样也起着APi场的空间平移生成元作用。

再分析“角动量算符”。 库伦规范中，ACi(x)是三维矢量场算符，满足“生成元关系”：

那么，对于APi场，类似的关系式满足吗？从物理学角度看，从现有的ACi场出发，由式（8）的定义，给出场。因此，在相同的“量子场Hilbert空间”上，可由式（8）得到对应的“生成元变换式”。 注意，式（31）之所以成立，是因为ACi是转动的三维矢量。若由式（8）所定义的APi场是一个三维矢量场，则同样有否 则 必 有由 式（8），有因 此 ，只 有 当Pi=(P1,P2,P3)是一个真正意义的“三维矢量”时，才可说APi是一个真正转动的“三维矢量场”。库伦规范条件∇iAi=0无疑是符合这一要求的，但任意构造的“静态规范”PiAi=0往往不满足此条件，如“轴规范条件”A3=0，前文所述的“扭曲的库伦规范条件”cij∇iAj=0。

至此，可以得到结论：文献中的“角动量算符生成元判据”在“静态规范”的自由电磁场情形下，通常是不满足规范条件的。

那么，这一结论的物理意义是什么？前文已述，库伦规范的Fock空间架设了Poincaré变换群的无限维幺正表示，所以，10个 Poincaré群生成元算符有良好的定义，由式（8）和式（9）的构造性定义可以指明新的APμ(x)场算符的洛伦兹变换方式：若Pi=(P1,P2,P3)非真正的三维矢量，那么规范条件PiAi=0就不是“空间转动协变”的，此情形可类比于“库伦规范”∇iAi=0中的讨论。库伦规范条件是“空间转动不变的”，但在boost变换下，却非协变的，因此，在一般的boost变换下，可以定义标准的“boost生成元”算符，但不再满足“标准的boost算符同真正四维矢量场的对易式”。事实上，在一般的boost变换下，库伦规范势ACμ“先做一次标准的boost，再继续上一次附加的规范变换”，以保证在新的惯性参照系中，库伦条件满足：∇´iA´i(x´)=0。同样，当规范条件PiAi=0明显非转动协变时，对易关系式[Ji,APj]的具体形式（偏离了“三矢量变换”的标准形式）恰好表明，在三维空间转动下先做一次标准的“矢量转动”，再做一次“附加的规范变换”，以此，在转动后的新坐标系中，恢复“非协变的静态规范”：PiAPi=0。

于是得到，在自由电磁场情形下，由于GIE条件的多样性，即便对“物理的规范场”，通常也未能满足文献中所提出的“角动量算符的生成元判据”。

3 总结与展望

针对自由电磁场理论，建立了从库伦规范到特定“静态规范”的“量子规范变换”。这种显式构造，令“静态规范”下量子理论的结果更为充分与丰富。本研究可进一步推广，如当“规范条件”PiAi=0未能“唯一确定规范”时，本文所构造的“静态规范”下的量子理论其实是不唯一的，当PiAi=0条件下无法唯一确定规范时，相应的经典场方程（3）不能唯一确定“规范变换函数”f(x)，于是，相应的量子场算符AμP(x)的构造方式就不唯一。本文只选择了一种最简单的构造形式，PiAi=0条件下的剩余规范自由度如何影响理论构造，有待进一步研究。

关于“生成元判据”，虽然本文只检验了“自由电磁场”的情形，但其物理问题的实质是清楚的，即如果“静态规范条件”PiAi=0不是“转动不变的”，相应的“物理场”算符就不满足标准的“转动生成元关系”。原则上，可做类似推广，但“生成元判据”成立的基础，即“规范条件”（GIE的定义条件）的转动变换不变性，不会改变。笔者期望在将来的工作中，这一问题有更明确的结论，包括由这一理论框架向非阿贝尔规范场情形的推广。