李姗姗,王智勇

(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京 210044)

1 引言

考虑如下分数阶边值问题

随着分数阶微积分的发展,其已涵盖了科学与工程的很多应用领域,特别是近30年以来,已应用到流体力学,粘弹性力学,反常扩散,分数控制系统,各种电子回路,生物系统的电传导,神经的分数模型等,并且已有了成熟的发展,见文献[1–6].

近年来,许多学者利用各种方法对问题(1.1)进行了研究,并得到了很多重要的结果.2011年,Jiao和Zhou在文献[7]中首次建立了问题(1.1)的变分结构,并利用极小化作用原理以及山路引理得到了问题(1.1)解的存在性;在文献[1]中,陈在位势函数W(t,x)满足渐近二次的条件下,利用山路引理研究了问题(1.1)解的存在性;文献[2]中,陈和唐运用喷泉定理和对偶喷泉定理分别考虑了位势函数W(t,x)为超二次和次二次的情形,得到了问题(1.1)存在无穷多个解.

令

其中λ>0,F(t,u(t))和G(t,u(t))在无穷远处分别是超二次和次二次的.最近,文献[4]首次研究了具有形如(1.2)式这样组合项的位势函数,借助于山路引理和极小化方法得到问题(1.1)至少存在两个非平凡解.受上述结果的启发,本文利用山路引理以及Ekeland变分原理,进一步讨论此类带组合项的问题(1.1)两个解的存在性.我们有

定理1.1 假设W满足如下条件

[F1]∀x∈RN,F(t,x)关于t是可测的,对a.e.t∈[0,T],F(t,x)关于x是连续可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+)使得

其中Γ为通常的伽马函数,α=1−β/2,则存在常数Λ0>0,使得当λ∈(0,Λ0)时,问题(1.1)至少存在两个非平凡解.

注1.1容易看出,这里定理1.1所给的条件同文献[4]相比要更一般,因此结果推广和……