陈林

(伊犁师范学院数学与统计分院,新疆伊宁 835000)

1 引言

椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要组成部分,其解的存在性问题具有很高的学术价值和理论价值,是偏微分方程领域中一个重要的研究课题.文献[1]研究了如下拟线性椭圆边值问题

近年来,对非局部椭圆方程的研究日益受到人们的重视[2–5].本文研究如下一类非局部椭圆方程

非平凡弱解的存在性,其中λ>0是实参数,10,h(x),H(x)是在RN上可变号的权函数.文献[6]运用Nehari流形及纤维环映射的方法得到当a=0,p=2时,问题(1.2)在有界区域上至少存在两个正解;文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了当a=0时,问题(1.2)至少存在两个非平凡的弱解.受文献[1,6,7]的启发,我们将运用Nehari流形及纤维环映射证明问题(1.2)在全空间RN上至少存在两个非平凡的弱解.由于所讨论的问题定义区域是全空间RN,从而本文不能得到类似于文献[1]中三个弱解的存在性结果.

的完备化空间.

由文献[8]可知,存在一常数S>0使得

其中−∞

为研究问题的方便,做如下假设:

本文的主要结果为

定理1.1 若条件(A1)–(A3)成立.则存在正数λ1使当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)至少具有两个正解.

2 预备知识

定义2.1若u∈X且对于任意的ϕ∈X有

成立,则称u为问题(1.2)的一个弱解.

显然问题(1.2)具有变分结构.设Iλ(u)是问题(1.2)所对应的Euler泛函,其具体表达式为

其中σ=p(τ+1).则Iλ(u)∈C1(X,R)且对于任意的ϕ∈X 有

特别地,

由于Iλ在X上无界,因此引入Nehari流形

从而当u∈Nλ时,有

引入纤维环映射 φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),则

易见,u∈Nλ当且仅当(1)=0.更一般地,(t)=0当且仅当tu∈Nλ.将Nλ分成

由于当u∈Nλ时,(1)=0,从而

引理2.2 Iλ是强制的且在Nλ上有下界.