魏文龙,魏冬梅,黄志刚

(苏州科技大学数理学院,江苏苏州 215009)

1 引言及主要结果

本文主要研究非齐次线性微分方程f00+Af0+Bf=F中方程解的Borel方向和非齐次项之间的关系.关于奇异方向中Borel方向的发展已经有了较长的时间,本文所讨论的是精确级Borel方向的某些性质,作为对Borel方向的一个发展和补充,同时给出了亚纯函数的精确级Borel方向和零点聚值线的部分性质.假设读者熟悉亚纯函数Nevanlinna理论的基本定义,定理和标准符号[1−4].为了叙述方便,给出以下定义.

定义1.1设0≤α<β<2π,复平面上的角域和扇形域分别定义为

设f(z)是复平面C上的亚纯函数,对于任意给定的ε>0,亚纯函数f(z)在角域Ω(θ− ε,θ+ε)上的零点收敛指数 λθ,†(f)定义为

其中 bv=|bv|eiβv(v=1,2,···) 是 f(z) 在角域 Ω(α,β)内极点 (不计重数),Sα,β(r,f)称为f(z)在角域中Nevanlinna特征函数,Cα,β(r,f)称为f(z)在角域上极点的计数函数(重级极点按重数计算),则亚纯函数在角域上的级定义为

定义1.3设f(z)是无限级亚纯函数,实函数ρ(r)称为f(z)的熊庆来无限级,如果ρ(r)满足如下性质:

上述定义最先为熊庆来所介绍,关于ρ(r)的存在性,庄圻泰给出了其简单的证明.

定义1.4射线J:argz=θ称为f(z)的1条ρ(r)级Borel方向,如果

∀ε>0和任意的复数a∈C∞成立,最多除去2个例外的a值.

射线J:argz=θ称为f(z)的ρ(r)级零点聚值线,如果

其中n(r,Ω(θ−ε,θ+ε),f=a)表示f(z)在扇形域Ω(θ,ε,r)={z:θ−ε

在文献[5]中,伍胜健首次研究了二阶微分方程的解的零点的幅角分布,发现了方程解的乘积的零点聚值线和Borel方向之间的联系,给出了如下的结论.

定理A 设A(z)是一个级为ρ<∞的超越整函数和f1,f2为方程f00+A(z)f=0的两个线性无关解,记E=f1f2.再设E的零点收敛指数λ(E)=∞,则射线argz=θ是E的一条∞级Borel方向的充分必要条件是λθ(E)=∞.

定理A中对于Borel方向的级的估计还是比较粗糙的,吴昭君就针对定理A给出了猜想,将定理A中的无穷级换成熊庆来的无限级……