周海安，修孝廷，孟建兵

(1.山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255049;2.徐州徐工矿山机械有限公司，江苏 徐州 221000;

声振问题包含结构振动的相互作用和声结构的耦合效应，其在工程应用中具有重要的意义。双层周期加筋板在现代建筑、汽车、船舶和航空航天等行业应用越来越广泛。对加筋板的振动声辐射研究，早期主要是以单层无限大具有相同加强筋的薄板为研究对象。Laulagnet[1]研究了简支无限平板的声辐射问题，在一系列简支平板模型中发展出了声压跳动量和平板位移量。Berry等[2]采用瑞利—李兹法(Rayleigh-Ritz method)研究了无限障板中流体加载下单层加筋板的振动和声辐射。近年来，金叶青等[3]采用傅立叶变换技术，在波数域对集中力作用下的单层无限大加强筋板进行了辐射声压的数值求解。金叶青，姚熊亮等[4]还对均匀流中剪切变形的加筋层合板的振动及声学特性通过数值截断的方法进行了分析，并验证了其数学模型的正确性。周海安等[5]则通过一种高效的半解析方法对简谐面力作用下的双周期正交加筋板的振动及声辐射性质进行了理论预测与分析，并考虑了加强筋的扭转作用对结构的影响。基于空间谐波法及虚功原理，陈海龙等[6]分析了单向周期加筋板的隔声性能,而庞福振等[7]则继续分析了无限大正交周期加筋层合板的隔声性能。尹剑飞等[8]则基于统计能量法和声波传播的相关理论研究了单向周期加筋板中弯曲波的传播特性。Takahashi[9]研究了在谐点力作用下周期性连接无限双层结构的声辐射问题，并计算出了两个不同结构的声辐射功率。Ma等[10]运用解析方法研究了双层周期加筋板结构声传输的主动控制机理，并对声传输机理给出了物理解释。本文主要用有限元和边界元相结合的方法研究双层周期加筋板结构的声辐射特性，计算在谐力作用下结构表面振动的辐射声场，为揭示双层周期加筋板结构声学特性提供一种数值方法。

1 结构有限元方程

有限元的基本方程可以用微分方程法和变分法推导得到，以下采用变分法中的Hamilton原理推导有限元基本方程[11]

(1)

式中：M为结构总质量矩阵；C为总阻尼矩阵；K为总刚度矩阵；Q为总体力系数矩阵；H为总面外力系数矩阵。当外力项F、p、Fc均为零时，则式(1)变为求解结构振动模态方程

(2)

对于时间因子为ejωt的情况，式(2)变为

K+jωC-ω2Mu=0

(3)

即有

K+jωC-ω2M=0

(4)

式(4)为结构自由振动模态本征频率方程。若结构无阻尼，则变为

K-ω2M=0

(5)

本文对双层加筋板中的板结构采用基于Mindlin板弯曲理论的壳单元进行有限元离散，筋结构采用了考虑剪切变形的梁单元，边界元采用与壳单元相对应的四边形四节点等参单元。

2 声学边界元

简谐振动情况下的声压为

p(t)=Pejωt

(6)

理想流体介质中声学波动方程为

(7)

将式(6)代入式(7)，得

(8)

(9)

从而得到可压缩流体小振幅下声学波动Helmholtz方程。

对于空间中某一封闭曲面结构，其表面为S，当封闭结构振动时，在结构内部或结构外部流体域B'中产生结构声辐射。考虑边界条件，对式(9)使用加权余量法，并采用基本解自由场格林函数

(10)

式中：

P为空间中任意点；Q为S上任意点；G(P,Q)为自由场格林函数。

2.1 直接边界元

可压缩理想流体中，根据小振幅振动的Helmholtz方程、流固面边界条件及在无限远处的Sommerfeld辐射条件，可以得到Helmholtz边界积分方程[12]

C(P)p(P)=

(11)

(12)

式中：n的下标Q表示在Q点处的法向导数；Ni(ξ,η)表示第m个单元的结点i处的插值函数在(ξ,η)处的取值。

将式(12)表达为与边界结点相对应的4M个离散方程，并在整个边界S上积分化为在各个单元上的积分，用等参元可表示为

(13)

式中:e为单元序号，Se为单元的区域;|Jm|是将四边形变换为ξη平面的正方形的变换行列式。

式(13)可表达为矩阵形式

(14)

其中：

(15)

(16)

Ap=Cvn

(17)

在将边界元模型导入声学分析软件(如SYSNOISE)中时，A和B会自动生成，结点上的法向振速已知时，通过求解(17)式可得出节点的声压值。之后可以求出边界上包含声压在内的其它声场参数，进一步利用边界积分公式，就可以对声场内有关声场参数进行分析计算。

图1 四节点线性元引入退化元Fig.1 The linear 4-node element introduced degenerate element

结构表面上的声压、声速和声强等通过求解系统方程得到后，直接用Helmholtz积分方程(P∈E)，即可得到流体介质中任一点P处的声压。

2.2 间接边界元

(18)

当场点P在边界单元的模型上时，根据流固面Neumann边界条件可得

-jρωvn(Q)

(19)

式中：∂nP，∂nQ为结构表面上点P和Q处的内法向单位矢量；vn(Q)为Q点处的法向振速。

边界单元模型上未知变量可用该模型上节点的未知变量及其形函数表示。利用变分原理，可推导出间接边界元一般形式

AX=Fa

(20)

3 结构有限元和间接边界元耦合方程

结构—声耦合分析是将结构的有限元方程和声场的边界元方程耦合起来。结构—声耦合的方程[14]可表示为

(21)

因此，本文无阻尼声辐射问题所要求解的方程如下：

(22)

将结构有限元和声边界元模型的单元进行离散，有限元结构模型划分为M个单元，在每一个单元上采取L个积分点，耦合矩阵变换到单元的局部物理坐标系中的形式如下：

(23)

(24)

(25)

将式(24)和式(25)代入式(23)中，整理可得

(26)

结构有限元模型的节点和单元可分成与边界元模型公共的部分和非公共的部分，只有公共部分的结构节点和单元才参与计算耦合矩阵。

在通过声学分析软件求解式(22)得到模型表面的未知变量u和X后，可利用式(18)计算得到任意场点处的声压。

声压级[15](Sound Pressure Level, SPL)定义为声压的有效值与基准声压的有效值之比，然后取20倍常对数，单位dB，其表示形式如下：

(27)

式中：pP为所得测量声；pr为参考声压，pr=2×10-5Pa，即人耳对1 kHz空气声所能感觉到的最低声压。

4 算例

以如图2所示的双层双周期正交加筋板计算模型为例：板厚均为t，筋高为H，宽为W，周期数为n，x方向的间距为lx，y方向的间距为ly，板间距为h，板材与筋材料相同。计算中取：钢材密度为7 800 kg/m3，弹性模量为210.0 GPa，泊松比为0.3，t=0.005 m，H=0.1 m，W=0.01 m，lx=ly=0.2 m，h=0.3。在有限元中平板用SHELL63单元，筋用BEAM188单元，流体单元采用Fluid30，有限元模型如图3所示。

图2 双层双周期加筋板示意图Fig.2 Schematic of double periodical beam-stiffened panels

图3 部分双周期加筋板有限元模型Fig.3 Partial FEM model of double periodicalbeam-stiffened panels

在周期结构的下层周期加筋板上施加力幅值为{Fe}=1 000 N的简谐面力，两周期加筋板之间充满水介质，水的密度ρ=1 000 kg/m3，水中的声速c=1 500 m/s。在四面的边界上施加周期对称边界条件；在有限元中进行谐分析，分析的频率范围为20～2 000 Hz，步长为20 Hz。

将谐分析结果导入到声学边界元软件中，可计算出周期结构在水中任意点处的声压。本文计算了距双层周期加筋板上层周期结构0.1 m处(见图4)声压随频率变化的声压级(见图5)，可以看出在800 Hz和1 200 Hz附近处场点的声压级较大，说明在该频率段处周期结构的辐射能力强。

图4 场点位置(垂直距离为0.1m)Fig. 4 The location of field point

图5 双层周期加筋板的辐射声压级图Fig.5 Sound pressure level of double periodical beam-stiffened panels

以如图6所示的双层双周期斜交成正六边形加筋板模型为例，参数和边界条件不变，有限元模型见图7。在距双层双周期斜交成正六边形加筋板结构0.1 m处的声压随频率变化的声压级曲线如图8所示，可以发现在800 Hz和1 100 Hz处场点的声压级较低，说明在该频率段处周期结构的辐射能力弱。

图6 双层双周期斜交成正六边形加筋板示意图Fig.6 Schematic of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

图7 双层双周期斜交成正六边形加筋板有限元模型Fig. 7 FEM model of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

图8 双层双周期斜交成正六边形加筋板的辐射声压级图Fig.8 Sound pressure level of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

图9 双层双周期斜交成正三角形加筋板示意图Fig.9 Schematic of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

以如图9所示的双层双周期斜交成正三角形加筋板模型为例，参数和边界条件不变，有限元模型见图10。在距双层双周期斜交成正三角形加筋板结构0.1 m处的声压随频率变化的声压级曲线如图11所示。可以发现在800 Hz和1 600 Hz处场点的声压级较低，说明在该频率段处周期结构的辐射能力弱；在1 100 Hz和1 700 Hz处场点的声压级较高，声辐射能力强。这与结构的固有频率相关，结构的固有频率受结构密度、刚度、尺寸及边界条件等因素影响。一般情况下，当外部激励力的频率与结构的固有频率相等或接近时，则结构的声辐射增大；当外部激励力的频率与结构的固有频率相差较大时，则结构的声辐射减小。

图10 双层双周期斜交成正三角形加筋板有限元模型Fig.10 FEM model of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

图11 双层双周期斜交成正三角形加筋板的辐射声压级图Fig.11 Sound pressure level of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

5 结束语

采用有限元和边界元相结合的数值方法，建立了双层周期加筋板在低频谐力作用下，声波在水中辐射的计算模型，并利用该模型计算研究了双层周期加筋板的声辐射特性。双层周期加筋板结构在简谐面力的作用下，振动呈现出一定的周期性，在特定的频率范围内或特定频率附近处时，周期加筋板结构振动位移大于其他频率处，为了增强(或减弱)周期结构的声辐射能力可以接近(或避开)特定的频率。该方法的最大优点是可以计算任意复杂结构的辐射声场，数值计算的实例表明该方法具有一定的应用前景.