☉江苏省常熟市浒浦高级中学 殷伟康

数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程.主要包括：收集数据、整理数据、提取信息，然后构建模型对信息进行分析、合理推断，最终获得结论，解决问题.数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，其已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的数学活动的基本经验.

在当下的互联网时代，人们无论是在工作还是生活中都受到大量数据信息的影响和冲击.其实，我们已经进入了大数据时代，所涉及的数据不仅包括通过记录、调查和实验所获得的相关数据，还包括通过互联网、文本、声音、图像、视频等数字化得到的数据.因此，数据处理和分析能力便自然而然地成为当代人的核心素养.新一轮数学课程改革顺应了时代变化的需求，新颁布的高中数学课程标准首次把“数据分析”列为数学的六大核心素养之一，并且在高中教材中突出了数据处理的内容.

一、案例分析

案例（一）：直线斜率的概念

问题1：直线是平面内最常见的几何图形，确定直线的要素有哪些？

生：两点确定一条直线.如过点P（1，1），Q（3，5）确定一条直线.

问题2：直线的特征是什么？

生：“直”.

问题3：当点怎样运动时可以保持形成的轨迹图形是“直”的？

生：比如点P向右平移1个单位，要保持“直”，需要再向上平移两个单位；比如点P再向右平移两个单位，要保持“直”，需要再向上平移四个单位.

请同学们试试看，从直线上的任意一点出发，在点运动的过程中怎样保持直线的“直”，记录如下数据：（Δy、Δx分别表示点运动过程中纵坐标、横坐标的增量）

问题4：从以上的数据中，你能发现什么？

（让学生思考：在点运动的过程中，Δy，Δx都是变量，不变的是什么呢？）

问题5：对这个结论，能否结合图形给予证明？

生：可以从相似三角形的相似比进行证明.

如图1，过点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2）的直线l的斜率为

设计意图：引导学生通过观察与实验，收集数据，分析数据，归纳出：点在保持形成的轨迹图形是“直”的移动的过程中，Δx，Δy都是变量，但比值这一代数量始终保持不变，最终形成直线斜率的定义；同时也揭示了隐性知识（方法）：研究解析几何的基本方法——坐标法.

案例（二）：两角差余弦公式

问题1：我们在初中时就知道，由此我们能否得到cos30°，若不能，则cos（45°-30°）等于什么？即cos（α-β）等于什么？

设计意图：把学生熟知的数学知识作为背景素材，创设问题情境，引发学生的认知冲突与疑惑，唤起学生解决问题的兴趣与探究的热情，从而引入课题.

问题2：（学生活动）我们大胆设想：cos（α-β）的值与α，β的三角函数值有着密切的关系，从特殊角出发，请用计算器探索：

（1）cos（45°-30°）与cos45°，cos30°，sin45°，sin30°的关系；

（2）cos（60°-45°）与cos60°，cos45°，sin60°，sin45°的关系；

（3）cos（60°-30°）与cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的关系.

问题3：从上面几组数据分析，你能否发现其中的数学规律？猜想cos（α-β）的结果.

生：cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°，我认为下述等式也可以

cos（45°-30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，这两个等式到底哪个更合理呢？

通过对第（2）组的数据分析，学生发现同样也有这两种情况出现.再通过对第（3）组的数据分析，发现cos（60°-30°）=cos60°cos30°+sin60°sin30°，由此猜想cos（α-β）合理的表达式为cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

设计意图：引导学生通过数学实验、数据分析，建立初步的数学模型，让学生自主探索、大胆猜想、验证结果并不断修正和改进，让学生经历发现公式的过程，并体验数学公式源于特殊到一般，培养学生的数据分析素养.

问题4：如何证明猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ呢？观察其公式的结构要素，联想此猜想结论与哪个公式相似？

设计意图：引导学生展开联想，α，β的终边与单位圆的交点分别为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），同时发现猜想结论的右边与向量数量积公式的坐标表示相似，进而可得O■→A·O■→B=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ，又从向量数量积定义出发，得O■→A·O■→B=cos（αβ），从而证明猜想结论的正确性.凭借直观想象，构造单位圆模型，利用向量数量积推导两角差余弦公式自然水到渠成.

案例（三）：基本不等式

情境引入：纸牌游戏（用纸牌玩比大小），教师和学生乙每人三张纸牌（如学生乙2，6，7，教师1，2，3），各任选其中一张比大小，不是直接比较这两张纸牌上的数字大小，而是按以下游戏规则：将师、生各选的一张纸牌上的数字大小分别记为a，b，再选定后比较大小（如学生乙选教师选

在整个游戏过程中，学生乙刚开始充满信心，偶尔动笔计算，充满期待，最后主动认输.学生在实际抽取后获得的大量数据的基础上，通过分析，猜想出重要结论（当且仅当a=b时等号成立）.

设计意图：诱导学生从多角度、多方位进行思考，探究证明猜想结论的方法.由于比较法在学习函数的单调性时接触过，所以学生最容易联想到用此法进行证明.引导学生从结论出发，探究其发生的原因及变化情况，即运用“执果索因”的证法——分析法进行证明.由此，学生自然会生成“由因索果”的证明方法——综合法.

二、教学反思

为了增强应用性和时代感，在教学中可以利用信息技术、互联网等途径收集数据，让学生用数学的眼光去关注、分析和解释环保、人口、金融、军事、体育等社会热点问题，从而提高学生的数据分析能力，培养学生的“数据分析观念”和数学信息素养，同时激发学生的数学应用和创新意识.

1.经历数据处理的过程，让学生学会猜想，培育数据分析观念

史宁中教授认为培养学生的数据分析观念的难点在于如何创设恰当的数学活动，来体现数据的获得、分析、处理进而作出决策的全过程.因此，在数学概念的教学过程中，教师应注重创设恰当的数学活动，为学生经历数据的获得、分析和处理进而作出猜想、合理决策提供充分的条件和时机，使学生能够在处理数据的过程中感受、理解和领悟数学概念并实现培育数据分析观念的目标.案例（一）通过提出“当点怎样运动时可以保持直线的‘直’”问题，诱发学生深入思考.引导学生通过实验、思索，逐步地认识到点在移动的过程中，Δy，Δx都是变量，但依据数据分析，发现数据的整体特征：比值这一代数量始终保持不变.也就是说，通过把直线上一个点到另外一个点的平移进行分解，发现这两个平移变量的比值始终为一个常数，从而得出直线斜率的概念.这种情境创设方式既贴近学生思维“最近发展区”，又让人耳目一新，而且还有效渗透坐标思想（几何问题代数化），培育数据分析观念.

2.掌握数据分析的技能，让学生学会选择，积累数据分析经验

喻平教授认为数据分析技能分为三级水平表现为：（1）能够掌握基本的数据处理工具；（2）能够利用常规方法分析现实情境与学科情境中的数据；（3）能够构建模型分析数据.数据分析技能是培育数据分析观念的基础.仅有数据分析观念，缺乏数据分析基本技能，就无法获得真实有效的数据进而无法对数据做出准确的分析和合理的猜想与决策.因而，在数学教学过程中，应该引导学生根据问题的背景选择合适的方法进行数据的整理、描述和分析，有效地从数据中获取信息，构建数学模型，合理猜想公式，最终发现数学规律.如在案例（二）中，首先引导学生根据特殊角的三角函数值，进行数据分析，探索cos（α-β）的值与α，β的三角函数值之间的线性关系，并对数据中的信息进行有效的分析和推断，猜想两角差余弦公式，最终通过构建数学模型，促使知识的形成过程自然生成.通过数据分析活动，可以提高学生基于数据表达现实问题的意识，积累数据分析的活动经验.

3.感悟数据分析的魅力，让学生学会思考，培育数据分析素养

孙宏安认为数据分析素养使我们能从整体上反映和分析事物的数量特征，考察事物的本质和发展规律，以此进行有依据的判断，从而做出正确的决策.教师要创造性地使用教材，根据教学内容，创设数据分析活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、依据数据进行合理猜想、决策的全过程，感悟数据分析的独特魅力.通过数据分析活动，提升学生数据处理能力，养成通过数据分析思考问题的习惯，积累基于数据分析探索问题本质、联系和规律的数学活动经验.案例（三）中“纸牌游戏”的情境引入，生动有趣、引人入胜、言简意赅、诱导思考，通过数据分析发现“基本不等式”这一新型的数学模型，再引导学生从多角度、多方位进行有效思维，展开联想，探究对数学模型（基本不等式）证明的方法.在数学教学中，创设情境，让学生自主探究，通过数学实验收集、整理和分析数据，并根据数据作出合理猜想，进而用数据来验证猜想，让学生经历研究数学问题的一般过程，从而形成研究数学问题的基本方法，培育学生的数据分析素养，提升学生的数学核心素养.