☉山东省青岛第一中学 任军涛

通过对高考试题的深入分析与研究，并进行读题、做题、议题、思题等步骤，关注高考对数学教学的指导思想．下面以2018年全国卷Ⅰ文科第20题为例，这是一道以抛物线为背景的解析几何问题，表述清晰，难度中等．而从高考后对此题的作答的调查情况来看，仍有颇多的典型失误．

一、试题呈现

题目（2018·全国卷Ⅰ文·20）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明：∠ABM=∠ABN．

本题涉及到抛物线的方程与几何性质，直线与抛物线的位置关系，直线的方程与斜率等基础知识，考查学生的函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想以及分析问题的能力和运算求解的能力等．

解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，代入抛物线C：y2=2x，可得M的坐标为（2，2）或（2，-2），

所以直线BM的方程为或

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN；

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0.

直线BM，BN的斜率之和为

所以kBM+kBN=0，可知直线BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.

综上所述，∠ABM=∠ABN．

二、典型失误与对策分析

1．对而不全

在第（2）问的证明过程中，没有对“l与x轴垂直”和“l与x轴不垂直”两种情况进行分类讨论，就直接设出直线l的方程为y=k（x-2），然后进行推演与证明．

分析：对于后者的错误，这是解析几何中涉及直线方程的斜率存在性问题中最常见的典型失误，属于逻辑性错误．这类典型失误在平时课堂教学过程中会经常强调．但在实际解答过程中，由于受到问题的特殊性以及高考状态下学生思维的片面性等原因的影响，导致此类失误一再出现．

这类典型失误除了在解析几何中出现，在其他知识点中也经常出现．例如，在三角运算中“角的范围限制”问题，等比数列中的首项以及公比“非零”问题，直线与圆锥曲线相交的“判别式”问题，基本不等式中“一正二定三相等”问题，函数导数值的正负与其“单调性的关系”问题，函数的极值点与“导函数的零点的关系”问题等，都是比较容易出现忽略、遗漏或是转化过程的不等价变换等情况．

对策：加强学生数学思维的训练，特别是严谨性训练．逻辑推理与解答过程是类似的，必须具备等价性．而在解答题的书写过程中，就必须严谨，正确区分从一般到特殊以及从特殊到一般的关系．在以上典型失误中，解答过程中画出的直线l是某一瞬间的、特别的情况，不可能同时包括“l与x轴垂直”和“l与x轴不垂直”这两种情况，进而在解答的书写过程中就会导致遗漏，造成对而不全．

教师在教学过程中，必须重视对学生数学思维的发散性（变式法）、灵活性（多视角）、创新性（构造法）以及全面性（等价转化）的培养与训练．针对具体的数学问题，引导学生从问题的不同角度、各种关系、相关属性等进行全面考虑，灵活地解决问题．

2．运算不准

在第（1）问的求解过程中，出现了运算出错，坐标确定出错，直线方程出错等；在第（2）问的证明过程中考查数学基本运算，包括直线的斜率之和、直线与抛物线的位置关系等问题中的运算，有的在kBM+kBN的转化过程中运算出错，有的在直线方程代入抛物线方程中运算出错，有的在利用根与系数的关系转化中运算出错，有的是运算一半，无法进行下去而出错，总之运算过程中变量较多，运算繁杂，从而导致失误．

分析：运算错误分析其原因有两个：一个是知识性错误，一个是心理性错误．

（1）基本知识掌握不牢固，导致知识性错误．本题比较常见的有直线的斜率公式出错而导致相关的运算出错，直线与椭圆的位置关系中联立方程组的运算出错，根与系数的关系中表达式的运算出错等．而在其他相关数学知识中，也经常会由于相应基本知识掌握不牢固的情况而导致运算出错．

（2）心理因素不稳定导致麻痹大意或过度紧张．由于在高考的高压状态下，考生的心理状态很容易被分为两个极端，一个是麻痹大意，一个是过度紧张，其都是心理因素不稳定造成的．而其最终造成的结果就是要么对简单运算不够重视，要么心态不稳导致笔误等，最终都会造成运算错误．

对策：加强课内、课外训练．

（1）课内强化训练．在课堂教学中，重视对学生基本运算求解能力的训练，力求做到基本运算零失误．在专心、细心、耐心、信心等方面下功夫，在学生的每一个细节上寻求突破，实现全面提升．

（2）课外面批训练．利用自习课等，在作业解答、测试训练中，通过课外面批，针对出现的错误，指导学生有针对性地对知识点、心理素质等加以训练，促进学生基本知识的进一步熟练掌握，心理素质的进一步有效提升．

3．思维不畅

在第（2）问的证明过程中，当l与x轴不垂直时，要证明∠ABM=∠ABN成立，转化为BM，BN的倾斜角互补，即kBM+kBN=0来处理．由于思维不畅，无法进行上述思维的合理转化，导致无从下手．

分析：解决问题的思维方式往往是巧妙转化与化归，解题思维的切入点是解决问题的关键．通过分类讨论，当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN；当l与x轴不垂直时，如何选定证明∠ABM=∠ABN时所切入的角度，就是解决问题的关键．由于思维不畅，不会加以巧妙转化利用BM，BN的倾斜角互补，即kBM+kBN=0来处理．

（1）导致思维不畅的一个主要原因是知识点之间的联系不够密切．很多的数学知识点之间是相互联系，密切相通的，这在解题过程中需要经常对思维加以转化．例如直线与圆锥曲线有无交点与对应的判别式的正负取值，直线的斜率与对应的倾斜角，直线垂直与圆的关系，平面向量的数量积与垂直、平行关系等，都是思维转化的重要知识点．

（2）导致思维不畅的另一个主要原因就是缺少解题的灵活性，当一种思维不畅时，可以采取其他思维方法来转化与应用．其实本题中，当l与x轴不垂直时，要证明∠ABM=∠ABN成立，还可以转化为：①巧设直线l的方程为：x=my+2（m∈R），结合角平分线的性质知，若有∠ABM=∠ABN，则有成立；利用两点间的距离公式的转化以及比值的应用得到相应关系式成立，进而得以证明∠ABM=∠ABN.②巧设直线l的方程为x=my+2（m∈R），利用平面几何方法，根据∠ABM=∠ABN的等价条件Rt△BFN∽Rt△BEM的转化，结合平面几何中对应直角三角形相应边的比值的关系式的建立与转化来分析，进而得以证明∠ABM=∠ABN.③通过设出直线l的参数方程为θ为直线l的倾斜角，θ≠0，t为参数），引入参数，结合直线BM，BN的斜率之和kBM+kBN=0的转化，进而来确定直线BM，BN的倾斜角互补，最终得以证明∠ABM=∠ABN等．

对策：加强全面分析，一题多解的训练．

（1）加强全面分析．在分析问题时，要全面把握题目所提供的所有关键信息，寻找相关信息之间的关联，探索已知信息与所求结论之间的关联通道与转化途径，力求解题方向明确，思维体系通畅，内在联系明了，解题运算简单．

（2）加强一题多解的训练．在传统的教学过程中，学生的思维极具定向性、专一性．而“一题多解”恰好是克服其思维定式的有效途径，同时也是培养学生发散性思维和思维灵活多样性的有效方法．通过“一题多解”的训练，培养学生从多角度、多途径、多知识寻求解题方法，开拓解题思路，进而通过多种解法的对比与分析选取最佳解法，总结解题规律，提升解题能力，增强思维品质，最终提升数学核心素养．

三、几点反思

以上只是这道解析几何问题的一些典型失误，在其他知识点的解题过程中也存在类似的失误，有时还有其他方面的失误．这些典型失误在平时教学过程中重复出现，而在考场中也时时重演着．

从教师层面，应加强与学生面对面的交流，指导学生从平时抓起，从“纠错本”入手，注意细节，提高正确率．不少教师对学生的学习方式、学习方法等方面的指导还不够，只是沿用传统的线性方式记笔记和纠正错题，没有形成体系化，导致记忆效果不佳．从学生层面，必须加强学科学习体系、学习方式、学习方法等方面的改进，注重自主学习，使得学科内容体系化、解题过程严谨化、学习动力内驱化，真正做到自主学习并科学掌握．

总之，教师要充分挖掘学生自身内部的能动力，引导学生自主学习，减少或避免由于各种原因导致的典型错误，真正达到学会、会做、做好的目的．H