游佳莹, 叶国菊, 刘 尉, 赵大方

(河海大学 理学院, 江苏 南京 210098)

0 引言

带有积分边界条件的微分方程是从物理、化学等自然科学中提出的数学模型,它可以准确地描述热传导、化学工程、地下水流和等离子物理等领域中的重要现象,这些领域中许多问题的讨论可以归结为对带有积分边界条件的微分方程的研究.近年来,带有积分边界条件的微分方程的解的存在性得到了广泛而深入的研究,取得了许多好的结果[1-7].文献[3]利用上下解方法证明了含Henstock-Kurzweil积分边界条件的二阶微分方程

的解的存在性,其中f(t,x(t))和hi(t,x(t))(i=1,2)是Henstock-Kurzweil可积的,k1、k2是非负常数.文献[6]利用Avery-Henderson不动点定理研究含积分边界条件的二阶微分方程

的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),h,g0∈C([0,1],[0,+∞)),α≥0.

本文考虑如下含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的二阶微分方程

(1)

Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分是一种更广泛的积分,包含了Henstock-Kurzweil积分[8-9]、分布Henstock-Kurzweil积分[10-12]、Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue-Stieltjes积分.现有文献对含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的研究尚不多见.本文主要利用Avery-Henderson不动点定理证明积分边值问题(1)2个正解的存在性.记[0,1]上全体正则函数(见定义1)构成的空间为G[0,1]和[0,1]全体有界变差函数(见定义2)构成的空间为BV[0,1].假设积分边值问题(1)中f和g满足以下条件：

(H1) 对任意的t∈[0,1],u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)≥0；

(H2) 对任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)关于t是Henstock-Kurzweil可积的；

(H3) 对任意的t∈[0,1],f(t,u)关于u是连续的;

(H4) 存在Henstock-Kurzweil可积函数f1和f2,使得对任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],有

f1(t)≤f(t,u)≤f2(t)；

(H5)g∈G[0,1],且对任意的t∈(0,1],存在常数0<β0<γ0<1,使得β0

(2)

(3)

和

(4)

则积分边值问题(1)至少有2个正解.

1 预备知识

定义1[13]设f(t)在[a,b]上有定义,若f(t)在[a,b]上的每一点处的左右极限

存在,且约定f(a-)=f(a),f(b+)=f(b),则称f(t)在[a,b]为正则函数.记[a,b]上全体正则函数构成的空间为G[a,b].

定义2[14]设f:[a,b]→R,在[a,b]上取一组分点a=t0

有界,就称f是[a,b]上的有界变差函数.记[a,b]上全体有界变差函数构成的空间为BV[a,b].

设δ(t)>0为区间[a,b]上给出的正值函数,所谓在[a,b]上的划分D是δ-精细的,是指对D的有序分点a=t0

ξi∈[ti-1,ti]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),

i=1,2,,m,

且

ξi=ti-1⟹i=1,ξi=ti⟹i=m.

对给定函数f,g:[a,b]→R及δ-精细划分D,定义

f(ξi-1))g(ti-1),

其中,ξ0=a,ξm=b.

定义3[15]设f,g:[a,b]→R.若对任给的ε>0,存在函数δ(t)>0,使得对任意的δ-精细划分D,有

|J-KD(f,g)|<ε,

则称J∈R是f在[a,b]上关于g的Henstock-Kurzweil-Stieltjes(HKS)积分,并记作

在定义3中,若取函数g(t)=t,则称该积分为Henstock-Kurzweil积分,简记HK积分.

引理1[9]若下列条件成立:

(i)fn(t)(n=1,2,)在[a,b]上HK-可积,且fn(t)→f(t),a.e.,t∈[a,b];

(ii)f1、f2在[a,b]上HK-可积,且对每一个n都有f1(t)≤fn(t)≤f2(t),a.e.,t∈[a,b],则f(t)在[a,b]上HK-可积,且

2 辅助引理

引理2若条件(H1)～(H5)成立,则积分边值问题(1)等价于积分方程

其中

(5)

证明对u″(t)=-f(t,u(t))从0到t积分得

由u′(0)=0得

(6)

(6)式两边从0到t积分得

(7)

令t=1,由边界条件得

代入(7)式得

(8)

由(8)式可得

所以有

代入(8)式得

(9)

另一方面,对(9)式两边求导即可得(1)式.证毕.

显而易见,由(5)式确定的K(t,s)满足0≤K(t,s)≤K(s,s),(t,s)∈[0,1]×[0,1].

当0≤t≤s≤1时,

K(t,s)≥δK(s,s),

(t,s)∈[0,1-δ]×[0,1].

(10)

引理3若g满足条件(H5),K(t,s)满足(5)式,则

(11)

证明对β0

由于

所以

证毕.

设P是实Banach空间X中的锥[16],由锥P诱导出半序关系“≤”,即u≤v当且仅当u-v∈P.

若对于任意的u,v∈P且u≤v,都有γ(u)≤γ(v),则称泛函γ:P→P被称为是递增的.

设γ:P→[0,+∞)连续.对于任意的d>0,定义集合

γ(x)≤θ(u)≤α(u),

‖u‖≤Mγ(u).

(i) 对于任意的u∈∂P(γ,c),γ(Tu)>c;

(ii) 对于任意的u∈∂P(θ,b),θ(Tu)

(iii)P(a,a)≠∅且对于任意的u∈∂P(α,a),α(Tu)>a.

a<α(u1),θ(u1)

和

b<θ(u2),γ(u2)

在以上3个辅助引理的帮助下，下面证明积分边值问题(1)2个正解的存在性.

3 定理1的证明

P={u∈X:u(t)在[0,1]上非负、非增和凹的},

显然，对于任意的u∈P,有

γ(u)=θ(u)≤α(u).

u(δ·0+(1-δ)·1)≥δu(0)+(1-δ)u(1),

所以

δu(0)≤u(1-δ)-(1-δ)u(1)≤u(1-δ),

显然,算子T的不动点是积分边值问题(1)的解.

令

由(H4)得

从而

由条件(H3)得

F1(t)≤F(t)≤F2(t),

进一步可得

|Tu(t1)-Tu(t2)|=

f(·,un)→f(·,u),n→∞.

|(Tun)(t)-(Tu)(t)|=

根据条件(H4)和引理1可得

和

因此

∀t∈[0,1],

这就表明T为连续算子,从而为全连续算子.

其次,证明T满足引理4中条件(i):对于任意的u∈∂P(γ,c),γ(Tu)>c.

由(2)、(10)和(11)式可得

γ(Tu)=(Tu)(δ)≥

再次,证明T满足条件(ii):对于任意的u∈∂P(θ,b),θ(Tu)

由(3)和(11)式得

θ(Tu)=(Tu)(δ)≤

最后,证明T满足条件(iii):P(α,a)≠∅且对于任意的u∈∂P(α,a),α(Tu)>a.

0≤u(t)≤a, 0≤t≤1.

由(4)、(10)和(11)式可得

α(Tu)=(Tu)(0)≥

综上所述,引理4的所有条件均满足,因此边值问题(1)至少有2个正解u1和u2,使得

和

证毕.

注1定理1推广了文献[6]中的相关结果.一方面,文献[6]中要求f是连续函数,本文的条件(H2)仅要求f关于t是Henstock-Kurzweil可积的.此外,文献[6]要求g0是连续函数,本文条件(H5)将g减弱为正则函数.另一方面,本文中的积分边界条件中使用的积分是Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分,比传统的Riemann积分和Lebesgue积分适用范围更广.

4 应用

例1考虑下面积分边值问题

(12)

其中

f(t,u)=

H为Heaviside步函数,

0≤u≤400;

以及

0≤t≤1, 0≤u≤10.

定理1的条件都满足,由定理1知积分边值问题(12)至少有2个正解.