●

(学军中学，浙江 杭州 310012)

2018年11月8日，为期半天的教师说题团体赛在浙江省杭州第十四中学举行.本次比赛共有23支队伍参加角逐，一共分为6个小组.本次团体赛说题题目自拟，人数不多于3人，说题的时间在19～21分钟为有效.笔者有幸担任了本次比赛A小组的评委，该小组共有4支比赛队伍，这4支队伍的说题展示方式也各有不同.笔者就本次比赛中这4支队伍的表现，谈谈一次成功的说题要注意哪些事项.

1 什么是说题

说题的形式一般可分为个人说题和团体说题.个人说题是指由一位教师独立完成说题的过程；而团体说题，笔者认为，应该由团队中所有的成员一起来完成说题，也就是说团队中的每个成员都要参与说题.另外从准备阶段的时间长短上来看，笔者认为可分为限时说题和不限时说题.限时说题是指说题准备的时间较短，比如题目事先不知道，通过抽签来决定要说的题目；不限时说题是指说题准备的时间较长，比如题目自选，然后通过一段时间的准备参加说题.本次比赛属于不限时的团体说题.

那什么是说题？说题不同于解题，解题只需要把解决问题的思路找出来，把解决问题的过程讲清楚，说题还需要说这个题目的其他很多方面，例如来源、解法、拓展等等[1]，也就是说，说题要尽可能把跟这个题目有关的其他方面都说清楚.

解题是说题的前提，只有顺利解决了这个问题，才能顺利地进行说题.说题是解题的升华，需要说题者把握住问题所考查的数学本质，以及所用的数学思想方法，要求说题者能够站在一个较高的角度来审视这个问题.说题还考查了说题者改编、拓展问题的能力，从多个角度考查了教师的基本功，因此通过说题来锻炼教师是一条很好的途径.由于说题活动最终还是要服务于教学[2]，因此说题不仅能够帮助教师提高自身的基本功，还能帮助教师改进习题课、作业讲评等解题教学，这也是最近几年各地说题比赛举办越来越多的原因之一.

2 说题的内容

那么说题要说些什么呢？笔者认为，应该包括下面几个环节.

1)说出处：即说明题目是哪里来的，是原创还是改编，又或者是哪一次考试的原题.

2)说背景：笔者认为题目的背景有4种，即教材背景、高等数学背景、模型背景、生活背景.教材背景指的是该问题和教材中的哪一块有联系或由此改编而成.高等数学背景指的是该问题蕴含了什么样的高等数学结果.模型背景指的是此问题和哪个模型有联系.生活背景指的是该问题可以和什么样的生活经验产生联系，或者是什么样的生活经验可以抽象出这样的问题.

3)说题目：即说清题目的已知、所求.

4)说解法：笔者认为说题应该要有一题多解，但是不能太过纠结于一题多解，毕竟这只是说题的一部分内容.因此，笔者认为有3种解法就可以了，不宜过多，最好不要超过5种解法.而且问题的各种解法应该是要反映不同思路的，而不是在处理某一步的时候，把不同的处理方法当作两种解法.

5)说思想方法和考查的知识点：即该问题考查了什么内容，解决问题时用到了什么数学思想方法.

6)说拓展、变式和联系：即该问题和之前哪些问题有联系、和哪些问题类似.另外该问题可以推广到什么样的问题，即为拓展(拓展可以是结果在维度上的拓展，也可以是推导出更为一般的性质或结论);还能变成什么样的问题，即为变式.

7)说教法：即这个问题怎么跟学生说清楚，使用什么样的教学方法，需要向学生展示哪些重要的解法和思想方法.

8)说编题：即根据此问题的本质，编拟一道试题，笔者认为该环节应该是一个加分环节，而不应该是一个必要环节.

3 说题的评价

比赛开始后，笔者统计了每支队伍在10个环节中的得分，总分为100.将4支参赛队伍分别记为1号、2号、3号、4号，其中1号队伍选择的是一道不等式最大值问题，2号队伍选择的是2015年浙江省数学高考理科试题第8题，3号队伍选择的是2018年浙江省数学高考试题第9题，4号队伍选择的是2016年浙江省数学高考理科试题第22题.

1)说出处(5分)：由于题目是自选的，因此该环节4支队伍都完成得较好，均为5分.

2)说背景(5分)：2号队伍说出了该问题的教材背景，4号队伍说出了该问题的生活背景，1号和3号队伍没有对此说明，故4支队伍得分依次为：3，5，3，5.

3)说题目(10分)：这一环节只有3号和4号队伍进行了阐述，1号和2号队伍没有进行阐述.在这一环节中，3号队伍的阐述很明确，4号队伍感觉并不清楚要，但在说题的其他环节中有顺带的阐述.故此环节4支队伍得分依次为：7，7，10，8.

4)说解法(35分)：此环节各个队伍都表现得很不错，解法很多.1号队伍给出了10种解法，2号队伍给出了4种解法，3号队伍给出了8种解法，4号队伍也给出了3种解法.但是1号队伍自始至终没有说明等号成立的条件，即什么时候取到最大值，扣2分.此外1号和3号队伍，解法过多，扣1分.故4支队伍得分依次为32，35，34，35.

5)说思想方法和考查的知识点(10分)：此环节1号和4号队伍没有阐述，2号和3号队伍都进行了阐述，故4支队伍得分依次为：7，10，10，7.

6)说拓展、变式和联系(10分)：此环节4支队伍都有阐述，但是各有侧重.1号队伍对变式进行了阐述；2号队伍说明了和其他试题的联系，没有进行拓展和变式，只是给出了几个历年的高考试题作为练习；3号队伍阐述了变式和拓展；4号队伍只作了有关拓展的阐述.因此相比较之下，此环节3号队伍是表现最好的.最后4支队伍得分情况为：7，7，9，7.

7)说教法(5分)：2号和4号队伍没有阐述这一环节，只有1号和3号队伍作了阐述.故此环节得分为：5，3，5，3.

8)教态和语言(10分)：1号队伍选手说题时，语速较快，感觉太激动；2号队伍有一位选手，似乎只专注说题，跟评委的目光交流很少；3号队伍的选手教态自然，说题过程流畅；4号队伍的选手说题过程也比较自然.故此环节得分为：8，8，10，9.

9)时间(10分)：1号队伍说题时间明显不够，只有15分钟；另外3支队伍的说题时间都在规定范围内，故此环节得分为：7，10，10，10.

10)编题：此环节没有一支队伍作阐述，故没有队伍得分.

4 说题举例

下面笔者以本次比赛中的一道题目为例，围绕说题的8个环节来阐述应该如何说题，给读者一个参照，也希望借此抛砖引玉，若有不当之处，还请各位同行批评指正.

例1已知函数f(x)=x-1-alnx，若f(x)≥0，求a的值.

1)说出处：本题是2017年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第21题的第1)小题.

2)说题目：已知函数f(x)=x-1-alnx，这是一个含参数的函数，若对于定义域R+上任意一个x，都有f(x)≥0成立，求参数a的值;也就是当函数f(x)的最小值非负时，求a的范围.

3)说思想方法和考查的知识点：该题考查了函数导数的计算，其中包括导数的四则运算和基本初等函数的求导公式.另外该题还考查了求函数最小值的方法或者对恒成立问题的处理方法.在求解过程中，还需要一定的解不等式功底.该题的解答运用了分类讨论、转化和化归等数学思想.

4)说解法：

若a≤0，则f(x)在R+上单调递增，因为f(1)=0，所以在(0,1)上函数值为负，矛盾.

若a>0，则f(x)在(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，从而f(a)是f(x)的最小值，即只需

f(a)=a-1-alna≥0.

(1)

lnt≥t-1.

(2)

由重要不等式t-1≥lnt，知式(2)的等号成立，即a=1.

解法2原问题等价于当x∈R+时，不等式x-1-alnx≥0恒成立，求参数a的值.由此可以考虑参数分离,要分离参数a，需要讨论x和1的大小.

若x=1，则原不等式恒成立，即a∈R.

由重要不等式t-1≥lnt，知

则

g′(x)≥0，

于是a≤1.

综上所述，a=1.

上述解法1和解法2属于比较基本的想法，学生都能想到.由于解法2使用了高等数学中的洛必达法则，因此解法2的后半段并不能被大部分学生所接受.根据波利亚解题原理，解完题之后，要考虑有没有其他更好的解法.由解法1可知f(1)=0恒成立，因此从这个条件入手，经思考得到如下解法3.

5)说背景：本题的背景是不等式x-1≥lnx，这可以由“函数y=lnx在x=1处的泰勒展开式”或“上凸函数y=lnx的图像不高于其在x=1处的切线”得到.

6)说拓展、变式和联系：首先说题目的变式，本题可以改变原函数的定义域，使得在解法2中可以避免使用洛必达法则，从而让题目更有训练价值.

得变式1：

变式1已知函数f(x)=x-1-alnx,其中x∈(e,e2),若f(x)≥0,求a的范围.

由于原函数的定义域为R+，因此可得到变式2：

变式2已知函数f(x)=x2-x-axlnx,若f(x)≥0,求a的范围.

再说背景的引申拓展，即重要不等式的变形，这里反复使用的不等式“x-1≥lnx”有着很多重要的变形，如：

1) ex≥x+1；

3)x≥ln(x+1).

然后说题目的联系如下：

例2已知数列{xn}，满足x1=1,xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中n∈N*),证明：当n∈N*时，

1),3)略；

(2017年浙江省数学高考理科试题第22题)

分析易知原命题即证

例1和例2用的工具都是不等式x-1≥lnx及其变形，另外它们与以下例3在解法上也有相通之处.

例3已知f(x)=ex-ln(x+m)，若m≤2，求证：f(x)≥0.

(2013年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第21题)

分析因为ex≥x+1≥ln(x+2)，又f(x)≥ex-ln(x+2)，所以结论得证.

例4已知函数f(x)=sinx-kx，若在[0,+∞)上，f(x)≥0恒成立，求k的最小值.

7)说教法：首先让学生读题，明白已知什么、求什么，给学生思考的时间，并通过适时地引导让学生学会转化，从而解决问题.本题的难点在于解不等式a-1-alna≥0以及解法2中的洛必达法则.

笔者认为解题教学应该是让学生提出想法，然后顺着学生的想法给出解决方案的过程.因本题总体难度不大，故只要进行适当的引导，学生既可以用解法1也可使用解法2.若学生使用解法2则应给予肯定，由于解法2要使用洛必达法则，因此最后可以由教师给出解决方案.解题之后要进行反思，提醒学生考虑有没有其他更优的解法，如发现f(1)=0，从而得到解法3或者其他解法.

8)说编题:由重要不等式的变形x≥ln(x+1)，可得以下例5：

例5若ex=1+xey，试比较x,y的大小.

例6已知函数f(x)=ex-x，若在[0,+∞)上，f(x)≥ax2+1恒成立，求a的最大值.

5 感想

在本次比赛中，有些队伍选的题目太难，比如4号队伍的选题是2016年浙江省数学高考理科卷的压轴题，得分率很低，因此笔者认为将此题作为说题的题目不是很妥.选题是说题的关键，不宜选得太难，否则会影响到说题的效果.赛后笔者和参赛选手们也作了交流，有部分参赛选手在选题时，过于注重解法的多样性，而忽视了说题的其他环节.为了追求解法的多样性，有不少队伍都选择了向量或者不等式作为说题的主题.

在说解法这个环节，笔者认为应该要注重通性通法，注重学生能接受、能掌握的方法，让它们成为说解法这一环节的主角，同时自动忽略一些不常规的解法，对秒杀法这样的奇思妙想下“禁令”，或者作为说解法的一种点缀.最后，我们应该对题目的变式和拓展多做些思考和题组训练，让学生逐渐熟悉通性通法，内化方法.