生遇困境独难支 微专助力信心升*
——一类含绝对值二次型函数微专题的开发和实践
2019-02-15
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(宁波市第二中学,浙江 宁波 315010)
1 专题背景
2019届高三一轮复习大幕已经拉开,各校都进入了紧张有序的复习模式.笔者所在学校于8月下旬开始函数一轮复习,在复习完二次函数和幂函数一节后布置《2019届数学全品一轮》课时作业(七)作为课后作业.第二天笔者在批改作业时发现最后一题基本上没有学生做对,很多学生都以空白形式呈现.为了方便说明,现将问题摘录如下:
例1设f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|,若f(x)在[-2,1]上不是单调函数,则实数a的取值范围是______.
(《2019届数学全品一轮》第13页第16题)
2 学情分析
2.1 学生已有认知
会求二次函数在闭区间上的最值,会去绝对值将原函数化为分段函数.
2.2 学生思维障碍
缺少画出f(x)图像的意识,对图像在分界点处的形态不清晰,找不到分类讨论的标准,不会讨论或讨论不全.
3 教学目标
1)能熟练画出此类含绝对值二次型函数的图像;
2)会对二次函数对称轴和界点及区间端点进行分类讨论;
3)对已知最值尽可能先缩小参数范围,从而简化或避免讨论.
4 教学设计
元认知是20世纪70年代由弗拉维尔提出的概念,就是个体关于自己的认知过程的知识和调节这些过程的能力.元认知策略是基于学生对自己的认知过程及结果的有效监视及控制的策略,包括计划策略、监控策略和调节策略.
基于对元认知策略的认识及学生学情和教学目标,我们将此块内容设计成如下微专题.
微专题片段1
例2设f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|.
1)求f(x)的最小值;
2)若f(x)在[-2,1]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
(《2019届数学全品一轮》第13页第16题改编)
图1
画出函数图像如图1所示,则
当a=0时,f(x)min=0.
2)由图像可得
从而
例3设函数f(x)=x2+|x-a|+1,其中x∈R,求函数f(x)的最小值.
图2
画出函数图像如图2所示,则
例4已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|,若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求a的取值范围.
图3
解设
于是
-3≤a≤5.
设计意图最值是函数的一个重要性质,例2增加第1)小题旨在回顾求函数(特别是分段函数)最值的方法,引导学生利用图像法求解;通过此小题的求解,适时总结画图的具体步骤,同时为第2)小题的顺利解决奠定基础.例3是认知计划的即时应用,适当增加了分段的类型,考查学生认知的自我监控和调节策略,即发现问题及时采取不同分类讨论的情形.通过例4强化认知监控策略,即根据函数目标的构造反馈认知活动中的结果和不足,同时依据解题的有效性评价函数构造的效果,并进一步强化方法的灵活应用.
微专题片段2
例5设f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|.
1)求f(x)的最小值;
2)求f(x)在[-1,1]上的最小值.
图4
1)同例2第1)小题(略).
2)解如图4,根据对称轴位置(极值点)与区间左端点-1展开讨论,易得:
当a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,故
f(x)min=f(-1)=-2a2-a+3;
f(x)min=f(-1)=-2a2-3a+1.
例6[1]设a∈R,求函数f(x)=x|x-a|在[-2,2]上的最大值.
图5
f(x)max=f(2)=2a-4;