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(镇海中学,浙江 宁波 315200)

1 教学现状及思考

在高三复习阶段，一线数学教师普遍的感受就是心“累”.这个累主要有两方面：1)身体累——忙于备课、改作业，还得做海量练习，寻找并设计专题，而于学生而言只是过眼云烟，教学目标是否达成有待商榷；2)心累——“炒冷饭”，正因为学生没有形成技能，能力达不到要求，就需要不断重复，复习计划无法如期落实，心里很急却又无可奈何.如何提高高三的复习效率，在紧张的教学实践中提高学生的数学核心素养、发展学生的能力，似乎是一线教师亟待解决的问题.

波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和大量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”那么备好一堂课，选题就显得非常重要了，它是切入课堂的契机，也是达成教学目标的重要载体[1].因此，与其翻阅大量模拟卷找那些看上去“高大上”的题目，不如从教材例题中寻找一些学生感觉亲切、同时又有意义并值得挖掘的题目.高中教材中的例题是专家、前辈们集体智慧的结晶，一些看似平淡无奇的例题，却隐藏着深远的背景，也有着意想不到的功能.同时，高考题源于课本又高于课本，即在课本中能找到高考题的题源.因此，在高三复习课中，应当抓住教材例题的生长点，深入挖掘，达到让学生触类旁通的目的.

2 教学过程

2.1 例题呈现

笔者开设了一节解析几何的综合复习课，选用了以下例题：

图1

(人教A版《数学(选修2-1)》第41页例3)

由学生自主解答.

2.2 合作探究

引导学生进行发散式探究，遵循从特殊到一般的方式，推广得到命题：

教学离不开数学探究，但全靠学生独立探究是不可取的，教师应当扮演好领路人的角色，在必要的时候加以点拨，指明方向[2].笔者提示：既然由此可得到椭圆方程，那么椭圆是否有这样的性质呢？学生进一步深入探索，不难得到结论，即上述命题的逆命题：

笔者追问：点A，B是否只能是椭圆的左、右顶点，能否再作拓展呢？

学生提出设想，师生共同完善命题：

证明设A(x1,y1)，B(-x1,-y1),M(x0,y0),则

而点A，B，M在椭圆上，从而

2.3 类比探究

笔者：同学们由两斜率之积为定值的形式联想到了什么？

希望以此启发学生将“椭圆的这个性质”与“圆的直径所对圆周角为90°产生的k1k2=-1”联系起来(如图2).

图2

接着笔者提出新的探究方向：圆内是否还有类似的性质可类比到椭圆？

在这里给学生足够的探索时间，为学生提供足够的展示和交流的机会.由点差法的引领，学生对圆的垂径定理作类比获得了一个探究成果，并给出了以下命题的几何证明：

图3

证明如图3，直线OB交椭圆于另一点B′，由中位线的性质知

(代数角度的证明：点差法不再赘述.)

学生未能在课堂上探究出新的命题，笔者提示学生由圆的切线与半径垂直，将直线AB进一步平移至与椭圆相切于点M(如图4)，进一步探索kOMk切线得到新命题：

图4

此命题留待学生自己证明.

2.4 习题示范

学生震惊于探究所得的结论，此时的情绪异常亢奋.笔者抓住时机，告诫学生数学学习要充分感受知识的发生发展，不但要知其然，还要知其所以然，更要做到何由以知其所以然，点出解析几何问题要胸怀“e2-1情结”，准确地抓住题目的条件特征，这将对解题大有裨益.接着笔者给出一道高考题让学生体验，例题的示范让学生切实感受“e2-1情结”的强大，让学生在受困于解析几何客观题小题大做之时，有一种柳暗花明的感觉.

(2014年浙江省数学高考理科试题第15题)

(9b2-a2)y2-6mb2y+b2m2=0，

从而

解得

a2=4b2,

故

故

2.5 作业布置

在布置课后作业环节，笔者让学生继续探究椭圆中与斜率之积相关的性质，收获令人惊艳！

3 教学感悟

3.1 充分尊重教材

在高三复习教学中，教师应充分尊重教材，不被模拟题牵着鼻子，带偏复习的方向，应以教材为本，以知识为舟，以思维为桨，乘风破浪，挖掘课本教材例题的背景及立意，创造性地使用教材，精耕细作，使数学知识的展开不再是无本之木，无水之源.让每个学生都能获得良好的数学教育，都能获得数学思维上的提升，提升数学核心素养.茫茫题海，寻根悟法方是岸,从课本寻根，从课本探源，尽览众山小.

3.2 充分体现学生的学习主体性

高三复习课同样应该将课堂还给学生，而不是教师一言堂灌入式教学.学生应当成为课堂的主人，但绝非放纵他们“肆意妄为”，教师需要扮演好导演和领路人的角色，将时间交还学生，让学生在问题的引领下，通过合作探究参与到知识的发生与发展中来，厘清知识脉络，建构知识体系[3].在此过程中，与学生共同探究得出结论，这样不但培养了学生的创新意识，还激发了学生的数学学习兴趣，树立了学好数学的信心，符合《普通高中数学课程标准(2017年版)》的要求.

3.3 充分给予学生展示自我的机会和勇气

数学教育家弗赖登塔尔认为：数学学习的唯一正确方法是让学生进行“再创造”，就是由学生本人把学习的东西实现或创造出来，教师的任务是为学生的发展创造条件、引导探索.因此在教学中，教师应当充分考虑学生的最近发展区，鼓励学生大胆猜测，严谨证明，从而在后续的自主探究中实现知识的升华，并创建平台让学生勇于展示自己的研究成果，努力做到让学生通过一道题目的学习，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.