(福建师范大学福清分校 电子与信息工程学院，福建 福清 350300)

环的理想在环论中有着重要的地位，得到广泛的重视和研究。如今，范畴化的思想已经渗入到数学的各个领域，Ross Street将环的理想提升到范畴的理想[1]，受此启发，本文讨论了函子范畴RI、回路范畴ΩR、推出范畴Ro的理想与范畴R的理想之间的关系。

1 函子范畴的理想

函子范畴是范畴理论发展的一个重要分支，任意给定的范畴均可视为函子范畴，如G-集范畴、积范畴、直向图范畴等等。本节讨论函子范畴RI的理想与范畴R的理想之间的关系。

先给出范畴的理想、函子范畴的定义[1-3]。

定义1.1[1]设R是加法范畴，R中的一个态射类I称为双边理想，若满足(1)I中态射f,g有f+g∈I(2)I中态射f，R中态射u,v有uf∈I，fv∈I(其中,uf,fv在R中可合成)。

本文所有的理想均指双边理想。

例子1.2设R为环，把R作为单对象范畴记为R(即obR={R},morR={a|a∈R}，态射的合成为R中元素的乘法)，容易验证，范畴R的理想和环R的理想一致。

定义1.3[2]设I是小范畴，R是范畴，定义函子范畴RI如下：

obRI={L:P→Q为共变函子}，homRI(L,M)={λ:L→M为自然变换},合成是自然变换的合成。

引理1.4[3]设I为小范畴，R为加法范畴，则函子范畴RI是加法范畴。

下面给出函子范畴RI的理想与范畴R的理想之间的关系，即

再证J是范畴R的理想，这是因为

(1)设m:P→Q，n:P→Q是J中态射，定义

LP:I→R；aP；l:a→b1P:P→P，

MQ:I→R；aQ；f:a→b1Q:Q→Q，

λ+π={λa+πa}a∈obI={m+n}a∈obI知m+n∈J。

(2)设m∈J，u∈morR，v∈morR，其中m:P→Q，u:Q→R，v:O→P。

同LP，MQ，可定义范畴RI中对象NR，TO，同λ，π，可定义范畴RI中态射

ξλ={(ξλ)a}a∈obI={ξaλa}a∈obI={um}x∈obC，

λζ={(λζ)a}a∈obI={λaζa}a∈obI={mv}a∈obI，所以um∈J，mv∈J。

所以如上定义的J是R的理想。

2 回路范畴的理想

H.Bass在文[4]中引入了回路范畴，并证明了对环R有K1(R)≅K1(f·g·PRμ)≅K0(Ωf·g·PRμ).紧接着文[5]利用Abel范畴上的Recollements构造出其回路范畴上的Recollements.文[6]进一步讨论回路范畴与范畴的平凡扩张、冲积范畴之间的交换关系，并给出应用。……