罗锐

[摘要]“慧雅”数学教学主张引导学生通过复习旧知获取新知，并通过动手操作，促进学生“做学合一”;通过融会贯通，引领学生实现深度学习;通过移易迁变，拓展学生的思维。

[关键词]慧思雅行;立命题;验猜想;明本质;拓思维

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2019）35-0025-03

“慧雅”数学教学倡导数学学习过程的智慧、规范、雅致，这就要求我们在教学中首先要认识数学所具有的抽象性、逻辑性和应用性三大特点，同时要清楚地知道数学学习还需要理性的思考。这就注定数学学习过程是感知认识、丰富理解、提升思维的过程。数学知识的呈现与表达、数学思考方法与过程、数学理解与感悟是根据学生外在动作与内在心理活动相生相成的，“慧雅”数学学习的内容可以是直观的、形象的、可视的，也可以是生动的、能操作的、可体验的。数学课堂教学不能局限于记住一个数学概念、会套用一个数学法则、会解答一类数学题目，而应让学生理解一个数学知识、锻炼一种数学技能、学会一种数学方法、发展一种数学思维，从而丰富学生的数学素养。这是笔者最近实践探索“慧雅”数学教学的一些思考，下面就以“数与图”的教学为例，谈谈在数学课堂上引导学生慧思雅行，丰盈数学理解的探索过程。

一、温故知新立命题——慧思源于经验，雅行萌发求新

慧思是指数学学习过程中智慧、灵动的数学方法与数学思维，它是数学教学的思维价值追求;雅行是指数学学习过程中规范、合适的方法与顺应本真的应然，它是数学知识自然生长和学生数学学习科学方法的行为标准。“温故而知新，可以为师矣。”温故而知新是指不断温习学过的知识，并且从中获得新的领悟。数学的每一个知识都是在原有知识的基础上生长起来的，数学教材内容也是在一定的逻辑结构内分段编排、逐步认知的，所以学生的数学学习也需温故才能知新。复习学过的数学知识，换一个不同的视角去观察研究它们的特点，也许就会有不同的发现。

“数与图”这节课是笔者根据苏教版三年级《数学实验手册》中“数与图”的实验、苏教版教材五年级中的“因数与倍数”以及相关课外资料自主开发的数学实验课，内容包括三角形数和正方形数。

[片段一l

1.课件出示自然数列，指出：“我们已经知道1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…这些数是连续自然数。”从中抽出偶数，引导观察：“自然数中，像2，4，6，8，10，…这些都是2的倍数，它们是什么数？”再抽出奇数：“自然数中，像1，3，5，7，9，…这些不是2的倍数的数，它们是什么数？”

2.仔细观察，你认为下面这组数有什么特点？请找出空缺的两个数。你觉得它们可以叫作什么数？

1

4 9 16 25 （ ）49 64 81（ ）

案例中，先用自然数列、偶数列和奇数列喚醒学生内在知识，让这些已有的知识成为学习基础，然后通过回顾自然数的排列规律与特点，唤醒学生从不同的视角观察数的特征的意识，让学生感悟从不同的视角观察同样的数学现象会有不一样的发现，将学生的思维引入新知识研究的最近发展区。在寻找1，4，9，16，…这一串数空缺的两个数的过程中，学生换一种视角观察分析一类数的特征，无痕地进入了毕达哥拉斯关于三角形和正方形点子图的数学实验，顺利进入学习状态。

二、做学合一验猜想——慧思立于实做，雅行促进创新

做学合一，是我国著名教育家陶行知的教学理论，它把“教”“学”“做”看成一体，“做”是核心，主张在做上教、做上学。数学不仅仅需要纯粹的思考，还需要通过动手操作来验证猜想是否正确。在不了解图形特性的情况下，通过动手操作研究它的本质，即“学中做”;在做实验的过程中直观地感受图形的特点，从而研究它的特性，即“做中学”。将“做”与“学”有效结合，可激发学生的创新意识。

[片段二l

师：这里有一些点，我们一起来还原毕达哥拉斯当年的数学实验。从第一个点开始观察思考：第一个图摆一个点，第二个图至少需要几个点才可以摆成三角形？第三个图要怎么摆？第四个图呢？这四个图的点子数依次是1、3、6、10，毕达哥拉斯把它们叫作三角形数。

（课件出示每个点子图的排列过程，学生同时用棋子在课桌上依次摆出来）

师：请大家仔细观察自己摆出的点子图，说说每个图所代表的三角形数。你能看出它们的奥妙吗？请你猜猜第5个三角形数可能是多少？第6个三角形数可能是多少？

（教师把学生猜想的数写在括号里，并打上大大的问号）

1.独立实验，同桌研讨

（1）用棋子再摆一个三角形。（2）把摆出的图形画到实验记录单里，写出三角形数。（3）根据摆的过程，观察这些三角形数，找出计算每个三角形数的算式。（4）同桌两人共同对比实验中记录的几组数据与算式，说说你们有什么发现？

第n个三角形数就是（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）。

发现：第n个三角形数是从1开始连续n个（ ）数的和。

2.交流展示，归纳规律

小组代表展示，学生每说出一个三角形数，教师就板书并追问为什么这样列算式。“用你们发现的方法验证一下，15是第5个三角形数吗？列式计算第6个三角形数。”教师引导学生发现：第2个三角形数的图形有2层，最多一层的点数是2，第3个三角形数的图形有3层，最多一层的点数是3。学生逐渐探索出三角形数的规律——第几个三角形数就是从1加到几，即三角形数就是连续自然数的和。

三、融会贯通明本质——慧思利于理解，雅行走进深度

融会贯通，出自宋·朱熹《朱子全书·学三》：“举一而三反，闻一而知十，乃学者用功之深，穷理之熟，然后能融会贯通，以至於此。”融会贯通，指将各方面的知识或道理融合贯穿起来，从而得到系统透彻的理解。数学题海是无穷大的，所以我们必须学会举一反三，通过理解一个典型的题型而掌握相似的题型，达到透彻的理解，而不是浮于表面的一知半解。

三角形数是本节课研究的最基本的图形数，由最初的用数字或算式表示第几个三角形数，最后归纳总结用字母代替数字，从根本上就掌握了三角形数的特征，达到了对三角形数的最本质的理解。

[片段三]

师：大家的猜想是正确的，说明实验中发现的这个规律也是正确的。请你再用一句话说说这个规律。

师：根据你们的发现，说一说下面这三幅图分别表示第几个三角形数，并说出算式。师：三角形数在生活中也有广泛的应用，比如在工地用于计算一堆木料（如右图）的根数。该怎样列式？就是求第几个三角形数？

师：要求这堆木料有多少根，还需要知道哪个条件？如果最后一层是20根，怎么列式？如果最后一层是100根，又怎么列式？这是高斯故事中的一道名题。高斯的巧算我们可以理解为把这个图看作上底是1，下底是100，高是100的梯形，用梯形面积公式来计算。如果底层是n根，怎么列式？用这个简便方法计算第6个三角形数。

为了让学生融会贯通，教师安排了解释应用性思维活动：①让学生看点子图说说对应的是第几个三角形数以及相应的算式，并在材料提供时有意变换图形的放置，体现变式，把数量最多的一层点子用不同颜色标注，让学生抓住知识的关键点;②算木材的根数，三个层次的引导让学生在三角形数、连续自然数的和、连续自然数和的计算方法、三角形、梯形等知识之间有效地架起一座立体的高架桥，把抽象的数列求和的理解直观化，让有难度的知识在迁移中实现顺应与建构。

四、移易迁变拓思维——慧思见于思维，雅行发展新知

移易迁变，出自明·张居正《答中溪李尊师论禅》：“意生分段之身，刹那移易迁变，人乌得而知之。”移易迁变的意思就是迁移变化。新知的获得是在旧知的基础上，由旧知不断迁移变化而来的。因此，让学生学会迁移旧知，发展新知才是根本。

在“数与图”中，难道只有三角形数吗？答案是否定的。那么还有哪些数呢？它又具有什么样的特点呢？这才是我们这节课的根本所在——让学生在情境中自己提出问题、思考问题并解决问题。

[片段四]

2.自主实验，引导：显然，是存在正方形数的。那么，正方形数又有什么特点呢？请大家前后四人一组，用摆棋子的方法自主实验。

实验提示：

（1）1人用棋子从小到大依次摆出不同的正方形。

（2）其他3人观察并记录，每人都填写一份实验记录单，要列出算式。

（3）根据摆的过程，观察你们发现的正方形数和每道算式，想一想，第n个正方形数可以怎样列式计算？

（4）对比实验记录的几组数据，你有什么发现？

根据表中的算式，我们发现：第n个正方形数的算式是（

}。

3.交流研讨。先让学生在小组内交流，形成小组研究成果，再请小组派代表上台展示交流，教师在黑板上复原他们摆的图形，让其他学生评价复原的正确性，然后师生共同研讨正方形数的特点。

（1）从1开始的正方形数是平方数。

探索发现：1=1²4=2²

9=3²

16=4²

25=5²

这样教学的目的是让学生观察发现：2x2中的2就是第二個正方形边上的点子数，正方形的边上有几个点，对应的就是第几个正方形数，等于边上点子数的平方。

（2）从1开始的正方形数是奇数的和。

探索发现：1+3=2x2=4

1+3+5 =3x3=9

1+3+5+7=4x4=16 1+3+5+7+9=5x5=25

课件依次呈现拐弯数，引导学生写出连续奇数相加的形式，要让学生发现：最后一个奇数加1的和除以2得几就是求第几个正方形数，也等于这个数的平方。根据这个规律快速计算：1+3+5+7+9+…+33=（）×（）。

（3）平方数是两个相邻三角形数的和。

课件呈现把正方形点子图分解成两个不同三角形数的点子图，可以发现：2x2=1+2+1. 3x3=1+2+3+2+1. 4x4=1+2+3+4+3+2+1.5x5=1+2+3+4+5+4+3+2+1.

这样教学的目的是让学生体会两个相邻的三角形数相加就是一个正方形数。这样的算式有什么特点？怎样快速算出它们的结果？让学生在观察正方形数与三角形数的关系时结合算式体会对称数相加的特点，能快速计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

“数与图”这节课在于让学生获得对三角形数与正方形数的本质认识，懂得如何计算它们。为了帮助学生获得这样的数学认知，本节课充分利用数学实验这一学习手段，让学生借助教师提供的实验器材和实验记录单，把数学活动聚焦在摆出三角形和正方形点子图、观察这些点子数量与排列的规律、用点子画出所摆的物体、体验摆图形的过程、写出算式，经历从实物到图、到数、到式，再到规律的数学化过程，感知逐步丰富，认识逐步清晰，思维逐步深入，理解逐步透彻。

（责编 吴美玲）