樊雪双 李云娟 严峰军

摘 要：曲面面积的计算方法很多，例如可以用二重积分及第一型曲面积分都可以计算曲面的面积，而用二重积分计算还有两种方法，这些用积分方法来求曲面面积都要求曲面方程是已知的才可以。而本文独辟蹊径主要采用了利用“分割，近似，求和，取极限”的思想并借助第一型曲线积分的计算方法求出了一类特殊柱面的面积。

关键词：曲面;曲线;柱面面积;第一型曲线积分

在高等数学中，积分是其中一项重要的内容，而对于积分的应用其中一项就是用来求面积，而曲面的面积计算在高等数学中也是一个重要的考查方面，在生活生产实践中，这个问题能否顺利解决也显得尤为重要，我们可以利用二重积分及第一型曲面积分的方法解决已知曲面方程求曲面面积的问题，而这些方法都要求必须已知曲面方程或通过已知条件可求出曲面方程才可以用，而这种要求就给现实的一些生产实践的求曲面面积带来了不便，而本文主要采用“分割，近似，求和，取极限”的思想方法在曲面方程未知而已知相关曲线方程的情况下来求一种特殊曲面——柱面的面积。

1 符合条件的一类曲面——柱面面积的计算

定理：若曲线C的方程为x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（z0）那么该曲线与它在xoy平面上的投影C′以及空间直线L1x=x（）

y=y（）与空间直线L2x=x（β）

y=y（β）所围成的部分柱面的面积为S=（其中S表示所求柱面的面积，l表示C′上的弧长）

证明：设C在xoy平面上投影为C′

求上图中弯曲柱面的面积的解决方法如下：