○赵红婷

教学“平面图形的周长和面积”一课时，教材上有这样一道练习题：

有两个边长都是6厘米的正方形，在其中一个正方形里画一个最大的圆，另一个正方形里画4个相等的尽量大的圆。（1）圆的半径是多少厘米？（2）两个正方形里圆的面积各是多少？各占正方形面积的百分之几？

教学时，我依次出示图形，引导学生尝试计算圆面积和正方形面积，并分别计算出圆占正方形的百分率。学生很容易得出：大圆的面积是3.14×3×3=28.26（平方厘米），正方形的面积是6×6=36（平方厘米），所占百分比为28.26÷36=78.5%。4个小圆的面积是3.14×1.5×1.5×4=28.26（平方厘米），所占百分比是28.26÷36=78.5%。

求出答案后，我并未就此罢手，而是引导学生提问题。有的学生问：“为什么结果都是78.5%？”这正是我想追问的。面对这样的问题，学生都陷入了沉思。思考过后大家进行了讨论，有学生这样解释：假设大圆的半径是x厘米，它的面积就是π×x2，而小圆的半径是厘米，它的面积是，4个小圆的面积就是π×x2。另一学生这样解释：大圆的面积是9π，4个小圆的面积也是9π。他们都通过计算发现，一个大圆的面积正好等于四个小圆的面积，所以它们占正方形的百分比是相同的。学生用具体数据进行解释，无疑是合理的。

接着，我继续追问：“如果正方形里面画满9个同样大的小圆时，九个小圆所占的百分比又是多少呢？”学生脱口而出：“百分率还是78.5%。”他们还进行了验证，得出了具体算式：9个小圆的面积是3.14×1×1×9=28.26（平方厘米），所占百分比为28.26÷36=78.5%。我继续追问：“通过这样的计算，你有什么发现？”学生都一致认为，如果里面画16个小圆、甚至是25个小圆……圆所占正方形的百分率还是78.5%。对这些结论，他们都能用计算进行验证。

研究至此，大家仍然意犹未尽，我再次抛出问题：“为什么圆的个数变了，但所占的百分率却不变呢？”学生能从计算角度分析了，但从图形上是否能解释呢？我继续引导学生画图探索。最后，有学生发现，不管是几个圆，都可以看成是相应正方形的内切圆。在正方形里画同样大的四个小圆，每个小圆就是它所在的小正方形的内切圆，而所有正方形的内切圆所占比率都是相同的。当学生从另一角度发现这一规律存在原因时，他们都欣喜不已。

数学家波利亚说过：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”学习抽象的数学知识，必然包含着“具体化”的过程。针对知识的存在特质，教师应适时进行深度追问，启发学生思考数学规律或现象的存在原因，便能凸显数学知识的价值。经历了这样的数学思考，学生才可能感受到数学的神奇和美妙，同时，他们的思维也将走向更深处。