吴敏

[摘  要] 函数的图像可以形象直观地描述函数的特征. 如何准确地画出新函数的图像是初中阶段研究函数的一个难点. 在教学中，教师可以引导学生从函数的代数形式，结合学生已有的学习经验，帮助学生清晰准确地描述函数的图像.

[关键词] 函数;函数的图像;函数的性质;合情猜想;反思

真题呈现

函数y1=x与y2=的图像如图1所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图像关于原点中心对称;②当x<2时，y随x的增大而减小;③当x>0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）. 其中所有正确结论的序号是______.

[图1]

结果分析

本题为南京市2017年中考填空题最后一题，难度系数0.47. 不少教师在看到试题后都有一个疑问：题目条件中所给的两个函数图像与本题中所求的函数图像根本就没有联系，为什么要给出这个看似无用的条件？反而给学生带来了困扰.

准确地画出新函数的图像是解答本题的关键，那么该如何画出函数的图像呢？考虑到这些因素，笔者对新函数的教学有一点想法，与大家交流，仅供参考.

教学过程设计

1. 课堂前置练习

请在坐标纸上分别画出y=x+1，y=，y=（x+2）2+1的图像，结合图像来总结如何研究函数、如何来描述函数的图像.

设计意图  帮助学生复习回忆已经学习过的三种函数的图像及画图步骤，为本节课的新函数提供“源材料”，同时也为下面总结函数图像及其性质做下铺垫.

2. 情境创设

你能迅速地画出y=x+的图像吗？y=的图像呢？

学生回答：不能，我们没学过上面的函数.

设计意图  通过问题的形式，让学生发现并思考：对于那些不是我们课本上学习过的新函数该如何去画图像？激发学生探究的欲望，调动学习的兴趣，同时引入本节课的内容.

3. 探索活动

活动一：

问题1：你画这三个图像的时候，都经历了哪些步骤？

学生：列表、描点、连线.

追问1：你画这三个图像，各自用了几个点？

学生：第一个图像2个点，第二个图像6个点，第三个图像5个点.

追问2：用有限个点就能画出这三个图像，为什么有限个点就可以画出函数的图像？

学生：我们已经知道了函数的形状.

追问3：那么函数的形状又是由什么来决定的？

学生：由函数的性质来决定的.

总结：函数的图像其实是由函数的表达式来决定的. 在初中阶段，函数的性质是由图像来刻画的. 所以，研究函数的方法：函数的表达式——函数的图像——函数的性质.

设计意图  教师通过连续的追问，让学生思考函数的图像为什么可以通过列表、描点、连线画出，以及函数的图像与函数的性质之间的关系，形成“函数的表达式——函数的图像——函数的性质”三者之间的整体认识，为本节课画新函数的图像提供清晰的思路.

活动二：

问题2：y=的图像是由两支图像组成的，我们称之为双曲线，原因是什么？

学生回答：x不能等于0，不能与x轴相交，也不能和y轴相交. （教师板书：x的取值范围）

追问1：画函数y=（x+2）2+1的图像时，你还关注什么？

学生：图像的顶点（最小值）、对称轴、单调性.

追问2：请你尝试概括：如何来描述图像的性质？

师生：与坐标轴的交点、图像经过的象限（分布情况）、图像的增减性、图像的最值问题、图像的对称性、函数的连续性（直观）等6个方面，描述函数的性质关键在于画出函数的图像.

我们能不能结合函数的表达式及我们描述的函数性质的几个方面，来看一看函数到底长成什么样？

设计意图  通过问题2引导学生去思考函数的图像形成的原因，启发学生关注自变量x的取值范围;追问1启发学生关注函数的图像的特征，鼓励学生尝试从不同角度来概括函数的图像与性质，进一步理解函数的图像与性质之间的联系，提高他们概括、归纳的综合能力，形成新的知识体系，并利用新的知识去解决问题.

4. 探索新知

请你对函数y=的图像做出合情猜想.

分析如下：

（1）因为x≠-2，与直线x=-2没有交点，因此图像位于这条线的左右两边，分成两段（如图2）.

[图2][O][x][y][-2]

（2）当x=0时，y=3，与y轴的交点为（0，3）;y≠0，与x轴没有交点，只能在x轴的两侧，会在哪些象限？（如图3）

[图3][O][x][y][-2]

①x>-2，y>0，在x轴上方，图像位于第一、二象限;

②x<-2，y<0，在x轴下方，图像位于第三象限（肯定不过第四象限）

（3）把x+2看成一个整体t，则t=x+2，原函数变为y=，结合这两个图像t=x+2，y=，请问：y=有最小值、最大值吗？

①无最大值、无最小值;

②t=x+2中，t随x的增大而增大，y=随x的增大而减小. y随x的增大而减小有两种方式：以直线方式，以曲线方式（如图4、图5）.注：图4可能，图5不可能（與x轴有交点）.

学生练习：请画出y=x+的图像.

设计意图  通过一系列的探索活动，教师的追问及引导，师生共同归纳、总结决定函数图像的6个方面，学生可以从函数的表达式、已知的性质寻找新函数的特征，结合这些特征就可以大致地了解新函数的模样，最后再按照列表、描点、作图的步骤准确地画出新函数的图像. 学生通过例题的分析、讲解，自主的练习可以熟练地将所学的知识进行实践，完全符合数学的“理论——实践——应用”的理念.

5. 回顾总结

如图7、图8所示.

进一步的思考

初中阶段，对于具体的初等函数（三种），课标的要求是会（能）画出它们的图像，并结合函数圖像探索、理解相应的函数性质. 对于练习中出现的其他函数，学生就需要利用已有的学习经验，自主画出函数的图像. 虽然教师在课堂上讲解了画函数图像的一般步骤（列表——描点——连线），但学生心中根本就不知道函数大概的形状，因此在连线的过程中根本就不知道该如何去连接——是直线还是曲线，最终所呈现的函数图像千奇百怪. 进一步的思考可以发现，学生存在问题的地方不仅仅在连线这一步骤，前面的列表（取值）就会存在问题——该如何取值，取哪些值.

对于本节课中的某些函数，如果学生在学习正比例函数与一次函数时，深刻掌握函数图像的平移变换（上下、左右），也可以精确画出函数的图像，但是这个对学生的要求更高，需要他们去发现新函数与所学的基本函数之间的关系. 例如，y=可以由y=向左平移2个单位长度得到;再例如，y=可以由y=向上平移1个单位长度得到;而y=x+，y=这些更复杂的函数就只能通过这次所学习的新函数图像画法来画出它们的图像.

函数是初中数学学习的重要内容，它是代数与几何的纽带. 教育学家皮亚杰的认知发展阶段指出：14～16岁的初中生正好处于形式运算阶段（11～16岁），他们开始具有抽象逻辑思维，但是对于函数的性质探索还必须建立在拥有具体图像的基础上，结合图形的特征，归纳相应的性质.

笔者比较了各版本的教材，发现一次函数图像为什么是通过生活实例可以得到的一条直线. 例如，人教版路程与时间的比值为定值，单位时间内变化率相同;苏科版通过香燃烧也可以发现原因. 武汉市第一初级中学的闵耀明老师还在《中学数学教学参考》中发表了文章《一次函数图像为什么是一条直线》. 虽然后面的反比例函数与二次函数书本上也有生活中的实例，但是教师在平时的教学中却忽略了反比例函数图像为什么是双曲线、二次函数图像为什么是抛物线这一问题，学生只是知道图形，却不知道为什么一定是这个图形. 因此，教师在平时的教学中不能只关注知识的传递，更应该关注知识形成的原因与本质.

最后，我们再来看填空题的条件，题目中给出的两个函数的图像看似和解题没有关系，但实质上出题人想让学生根据已有的知识（图像）来分析新函数图像的性质，由已知到未知，利用已经掌握的学习经验迁移到新的知识上，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的应用意识和能力，提高学生的数学核心素养.