哈尔滨金融学院 许 毅

高等数学在整个数学领域中占据着十分重要的地位，它具有严谨的逻辑性和广泛的应用性，是人们在生活、工作和学习中的重要工具。而数学建模的主要意义即为让学生通过抽象和归纳，将实际问题构建成一个可用数学语言表达的数学模型，从而利用数学知识顺利解决，同时在构建模型和解决问题的过程中，也使自身的数学思维及应用能力得到锻炼和发展。鉴于此，如何有效培养学生的数学建模意识历来是高数教师积极探索的课题。以下笔者拟结合自身教学实践，针对高等数学教学中数学建模意识的培养谈几点策略性意见，希望对相关教育工作者有所助益。

一、在概念讲解中挖掘数学建模思想

我们知道，无论哪一门学科的知识，概念和定义的形成都建立在对客观事物或普遍现象的观察、分析、归纳和提炼的基础之上，是经过科学论证形成的学科语言表达。高等数学作为一门逻辑性和应用性强的工具学科，这一点体现得尤为明显，换言之，即其概念和定义都是从客观存在的特定数量关系或空间形式中抽象出来的数学表达，从本质上说，其本身即蕴含和体现了经典的数学建模思想。因此，我们在进行数学概念或定义的讲解时，一定重视挖掘其中的数学建模思想，使学生从本源的角度更好掌握。具体来说，即为借助实际背景或实例，强调从实际问题到抽象概念的形成过程，使学生体会数学建模思想，这不仅有助于其在潜移默化中逐步树立数学建模意识，也有利于其对概念或定义的理解和掌握。

例如在讲授极限的定义时，如只单纯灌输，则不少学生会由于其高度的抽象性而感到空洞，如此既不利于对定义的学习，体会数学建模思想更将无从谈起。这种情况下，教师就可合理引入一些实际背景，结合实例进行讲授，如我国古人所说的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，其中就含有极限的思想；再如古代数学家刘徽利用“割圆术”求圆的面积，实际上就利用了极限思想；还可以通过一组实验数据或是坐标曲线上点的变化等实例向学生展示极限定义的形成，并深入挖掘其实质。这样就不仅能使学生相对容易地掌握定义，更能体会其背后的数学建模思想，从而促进其数学建模意识的培养。

二、在定理学习中示范数学建模方法

高等数学中涉及很多重要的定理及公式，学生应在理解的基础上掌握其运用角度和应用方法，并能利用其解决一些与之相关的实际问题，这是对学生学习高等数学的基本能力要求之一。而在引用某些定理解决实际问题时，毫无疑问会涉及数学建模，因此，教师在日常教学中进行定理及公式的讲授时，应注意选择一些相关实际问题作为数学建模的载体，并加以详细而深入的建模示范，从而在学生初始接触定理和公式时即能触发对数学建模思想的应用意识和能力。这可以说是培养学生数学建模意识的关键环节和有力途径，是显著促进学生形成数学建模意识的直接手段。如能长期以这种理论联系实际的方式对学生加以熏陶，无疑也能使学生在潜移默化中增强数学建模意识和数学应用能力。

例如，一元函数介值定理是高等数学中的重要定理之一，其应用也比较广泛，在学习此定理时就可以合理引入比较有代表性的实际问题进行建模示范，笔者曾用过有名的所谓“椅子问题”：将一把四条腿的椅子置于一个凹凸不平的平面，椅子的四条腿能否有同时着地的可能？试着作出证明。在示范建模并加以证明的过程中，就使学生对抽象的介值定理有了更深层次的理解，同时体会了数学建模的应用，尤其是如何用数学语言描述实际问题，从而更好地建立模型，另外，也在一定程度提升了对介值定理的应用能力。

三、在大量练习中感悟数学建模的应用

俗话说“实践出真知”，只有不断地应用演练，才能促使学生真正树立起数学建模意识，并切实体会数学建模思想及方法的应用。这方面，数学应用题无疑是最好的练习阵地，它的主要作用便在于提升学生运用所学知识解决实际问题的能力，因此较多涉及建模问题，尤其是突出思想和方法的应用过程。笔者建议，在学习过相关理论知识后，应“趁热打铁”，适当选取一些经典的实际应用问题供学生练习和提升，即通过分析、归纳和抽象构建数学模型，而后运用数学知识解决问题。这是培养学生数学建模意识的发展和补充，值得我们高度重视。

比如，与导数相关的实际应用问题有经济学中的边际分析、弹性问题、征税问题模型；与定积分相关的有资金流量的现值和未来值模型，学习曲线模型等；微分方程则涉及马尔萨人口模型、组织增长模型、再生资源的管理和开发的数学模型等，尤其是利用微方程模型分析一些传染病中的受感染人数的变化规律，从而探寻如何控制传染病的蔓延。总之，可用于学习练习数学建模的经典实际应用问题有很多，我们应善于合理选取和重点讲解，引导学生增强数学建模能力和解决实际问题的能力，从而获得更好的进步和发展。

综上，笔者结合教学实践，就如何在高等数学教学中培养学生的数学建模意识提出了三点浅显见解，即在概念讲解中挖掘数学建模思想、在定理学习中示范数学建模方法、在大量练习中体会数学建模的应用。当然，培养学生的数学建模意识是一个具有一定深度和广度的话题，只有在教学实践中积极探索，深入思考并善于总结，才能找到更多更有效的策略及方法，从此角度讲，本文仅为抛砖引玉，尚盼方家指教。