江苏省徐州市贾汪区建平中学 王 艳

“对顶角相等”“凡直角都相等”“三角形三个内角的和等于180°”等都是数学定理。数学定理反映了条件和结论之间的一种必然联系，它是从生活发展起来的。《周髀算经》里就有“勾三、股四、弦五”说法（即 c2=a2+b2），这就是勾股定理，它是特殊性的判断。后来随着生产的进一步发展，人们又从实践中概括出三角形三边余弦定理，即c2=a2+b2-2abcosC。这是一般三角形三边的基本关系式，是勾股定理的推广，它是普遍性的判断。从这里可以看出，数学定理来源于实践，而且一般都经过辩证发展的过程。

数学中一些定论是经过人们亿万次实践直接证实的，这样的命题叫做公理。如“整体大于部分”“若两个量分别等于第三个量，则它们也相等”等都是数学公理。

公理最早出现在欧几里德几何中。当时，随着生产实践的发展，人们关于空间形式的知识越来越丰富，从理论上加以概括和总结显得十分必要。欧几里德综合了人们认识的成果，写出了《几何原本》一书。这本书从点、线、面等最基本的概念和最简单的关系出发，从外部世界引进了这些概念和关系的某些性质作为公理。从公理出发，借助于几何图形的直观，应用形式逻辑的演绎推理，把形的其他性质推导出来。这些几何公理，在理论形式上，是逻辑推理的大前提。

在数学中，从逻辑推理的角度看，实际上公理不是没有证明过的，更不是不能证明的。公理是人们长期以来从生产实践中总结出来的结论。……