连颖颖，彭 桢，沈 燕

(1.安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000；2.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

反变有限子范畴的概念是由Auslander等[1]于1980年提出的.此后，Auslander等[2]对反变有限子范畴做了进一步的推广，研究了由代数A的投射维数有限的有限生成模构成的满子范畴p<∞(A)的反变有限性，且其与投射维数不超过1的倾斜模之间存在紧密的联系.这些研究引起了代数学家的关注并在后续研究中得到了很多重要结论，如Angeleri-Hügel等[3]证明了对于有限维代数A，其有限维数有限当且仅当存在一个A上的倾斜模T，使得T的右正交满子范畴与p<∞(A)的右正交满子范畴一致，给出了著名的有限维数猜想的一个充要条件[4].这些研究使得对于p<∞(A)的反变有限性的研究有了一定的理论价值.

导出范畴的概念是由Grothendieck在20世纪60年代提出并由Verdier完成了其核心构造[5].自该概念被提出以来，导出范畴与许多学科产生了紧密的联系，如偏微分方程、李理论、几何以及代数等.在代数表示理论中，代数的导出范畴之间的等价给出了代数的一种等价关系，是代数之间的3种重要等价关系之一，它保持代数的许多同调性质，如导出等价保持K理论[6]、保持代数的有限维数的有限性等[7].此外，导出等价与稳定等价也联系紧密[8].而环的同调满同态诱导了两个环的导出范畴之间的粘合，可以看作导出等价的推广，它在代数表示理论和代数K理论等的研究中起到了重要作用.作者考虑同调满同态能不能保持代数的一些性质，为代数工作者进一步讨论代数的关系提供了一定的理论基础.

论文研究了p<∞(A)的反变有限性在代数的导出等价下的关系，证明了p<∞(A)的反变有限性是导出等价下的不变量.

定理1给定域k上的有限维代数A,B，设存在同调满同态：φ:A→B，如果B作为A-模是投射维数有限的，且p<∞(A)在A中反变有限，那么p<∞(B)在B中反变有限.

1 预备知识

给定一个k-代数A,B，对于代数同态φ:A→B，若满足给定任意的代数同态f1,f2:B→C满足φf1=φf2，都有f1=f2,则称φ是一个满同态，显而易见，代数之间的满同态其实是代数范畴内的一个满态射.

引理1[9]设φ:A→B是一个代数同态，则下列各条等价

(1)φ是一个满同态；

(2) 乘法映射：μB:B⊗AB→B是一个B-双模同构；

(3)φ诱导的函子：φ*:B-mod→A-mod是一个忠实满函子；

(4) 存在函子间的自然等价：λ：(B⊗A-)φ*→1B-mod.

上述引理给了满同态的定义的同时也刻画了满同态的性质.

引理2[10]给定代数满同态φ:A→B，下列各条等价

满足上述条件的代数满同态叫做同调满同态.

给定代数A,A-mod的满子范畴C，如果满足对任意的A-模M，都存在一个右C-逼近，那么C称为反变有限的[1].

引理3[11]给定域k上的A,B，对任意的左A-模X，以及任意的左B-模Y，存在如下的自然同构

2 定理的证明

定理1的证明根据定义要证p<∞(B)在B-mod中反变有限，那么对于任意的B-模X，PX∈p<∞(B)，以及A-模同态αX:PX→X，对任意的P∈p<∞(B)以及B-模同态α:P→X，都存在B-模同态f:P→PX，使得下面的交换图成立

(1)

现对于B-模X以及任意的P∈p<∞(B)和B-模同态α:P→X，根据引理1，X是一个A-模，若B作为A-模是投射维数有限的，故P∈p<∞(A)α:P→X是A-模同态.因为p<∞(A)在A-mod中反变有限，所以存在QX∈p<∞(A)以及A-模同态βX:QX→X，对A-模X，以及P∈p<∞(A)，A-模同态α:P→X，存在A-模同态g:P→QX，使得下面的交换图成立

(2)

令PX=B⊗AQX，由引理3知

(3)

由于∈p<∞(A)，故由(3)式得PX∈p<∞(B).令

(4)

接下来验证交换图(1)成立.

根据交换图(2)得到下面的交换图

再由(4)式可得下面的交换图

由于P∈p<∞(B)，α:P→X是B-模同态，再由引理1，得到下面的交换图

于是得到交换图(1)，从而证明了p<∞(B)在B-mod中反变有限.