王永铎, 王亚婷

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

在本文中,R都是有单位元的结合环,所有的模都是右R-模.Mn表示有限个M做直和.Hom(M,N)表示M到N的同态集.Rn表示R上的n阶矩阵环.N≤M表示N是M的子模,N≤⊕M表示N是M的直和项.作为投射模的推广,Ding等[1]引入了D4-模的概念.即称模M是D4-模,若M=A⊕B,A,B≤M,且f是A到B的模同态,Im(f)≤⊕M,则Ker(f)≤⊕M.在D4-模概念的基础上又引入了D4-盖的概念.即称(F,g)为模M的D4-盖,若F是D4-模,g是F到M的满同态,且Ker(g)≪F.并用D4-盖刻画了完备环,半完备环和半正则环.Zhou[2]引入δ-小子模和投射δ-盖的概念.即称M的子模K在M中是δ-小的(记作K≪δM),若对于使M/L奇异的M的任意真子模L,都有M≠K+L.称(P,p)为模M的投射δ-盖,若P是投射模,p是P到M的满同态,且Ker(p)≪δF.并用投射δ-盖刻画了δ-完备环(半完备环,半正则环).受到文献[1-2]的启发,本文引入了D4-δ-盖的概念.称(F,g)为模M的D4-δ-盖,若F是D4-模,g是F到M的满同态,且Ker(g)≪δF.证明了若投射模F到模M存在满同态,则M有投射δ-盖当且仅当F⊕M有D4-δ-盖,并用D4-δ-盖刻画了δ-完备环(半完备环,半正则环).未注明概念见文献[3-6].

设R是环,M是右R-模.

定义1[2]称M的子模N在M中是δ-小的,如果对使得M/K奇异的M的任意真子模K都有K+N≠M.

定义2[2]称R是δ-完备环(半完备环,半正则环),若任意R-模(单R-模,循环表示R-模)有投射δ-盖.

定义3称M为D4-模,若M满足以下等价条件之一:

1) 若M=A⊕B,其中A,B≤M,f是A到B的满同态,则Ker(f)≤⊕A;

2) 若M=A⊕B,其中A,B≤M,f是A到B的同态,且Im(f)≤⊕B,则Ker(f)≤⊕A.

定义4[7]称M是δ-完备的,若M的任意同态像有投射δ-盖.

定义5[7]称M是δ-补模,若对M的任意子模N,都存在X≤M使得M=N+X且N∩X≪δX.此时,也称X是N的δ-补.

定义6[7]称M是δ-提升模,若对M的任意子模N,都存在分解M=A⊕B使A≤N且N∩B≪δM.

定义7[7]称M是δ-⊕-补模,若M的任意子模K都有δ-补X,使得X≤⊕M.

定义8[8]称M是拟投射模,若λ:M→N是满同态,则Hom(M,λ):Hom(M,M)→Hom(M,N)也是满同态.

定义9[8]称(F,g)为M的拟投射δ-盖,若F是拟投射模,g是F到M的满同态,且Ker(g)≪δF.此时,也称F为模M的拟投射δ-盖.

定义10称(F,g)为M的D4-δ-盖,若F是D4-模,g是F到M的满同态,且Ker(g)≪δF.也称F为模M的D4-δ-盖.

引理1[2]设N≤M,则N≪δM⟺若N+X=M,则存在N的投射半单子模Y,使得M=X⊕Y.

定理1设g是模F到模M的满同态,且F是投射模.则M有投射δ-盖当且仅当F⊕M有D4-δ-盖.

证明“⟹”设(P,f)是M的投射δ-盖,idF是F到F的恒等同态,则(F⊕P,idF⊕f)是F⊕M的D4-δ-盖.

“⟸” 设f:P→F⊕M是F⊕M的D4-δ-盖,πF是F⊕M到F的自然投影,则πFf是P到F的满同态.又因为F是投射模,所以存在F到P的同态λ使得图1可换:

令K=Ker(πFf),下证K是F⊕M的投射δ-盖.由图1知P=Im(λ)+K,πFfλ=idF,从而πFf可裂,故P=Im(λ)⊕K.记πM为F⊕M到M的自然投影,令θ=πMf|k,其中f|k为f在K上的限制同态.设任意m∈M,由f是满同态知存在p∈P使得f(p)=(0,m).因为P=Im(λ)⊕K,可记p=(λ(r),k),其中r∈F,k∈K,所以(0,m)=f(p)=(fλ(r),f(k)).因为πF(0,m)=0,所以(πFfλ(r),πFf(p))=(r,0)=0,因此p=(0,k).即θ为K到M的满同态.任取N≤K使得K/N奇异,且K=N+Ker(θ).因为P=Im(λ)⊕K=(Im(λ)⊕N)+Ker(θ),所以(Im(λ)⊕K)/(Im(λ)⊕N)≅K/N奇异,又因Ker(θ)≤Ker(f)≪δP,故Ker(θ)≪δP,因此K=N.从而Ker(θ)≪δK.因为πFf是P到F的满同态,所以据同态基本定理有P/K≅F.又因为P是投射模,所以P=K⊕T,T≤M,故P/K≅T,因此T≅F是投射模.又因为存在F到M的同态g,所以存在T到M的同态g′.由T是投射模知存在T到K的同态β使得θβ=g′.因此有K=Im(β)+Ker(θ),且Ker(θ)≪δK.由引理1知存在Ker(θ)的投射半单子模Y使得K=Im(β)⊕Y,因此P=Im(β)⊕Y⊕T.设πT是Y⊕T到T的自然投影,则βπT是Y⊕T到Im(β)的满同态.又因为P是D4-模,所以对Im(β)上的恒等同态id存在Im(β)到Y⊕T的同态h使βπTh=id.因此Im(β)同构于Y⊕T的直和项,故Im(β)是投射模,从而K=Im(β)+Y是投射模.

引理2[2]设P是投射模,N≤P.则P/N有投射δ-盖⟺存在A≤N和N∩B≪δP使得P=A⊕B.

推论1设M是投射模,N≤M.则M是δ-提升模当且仅当M⊕(M/N)有D4-δ-盖.

证明“⟸” 设M⊕(M/N)有D4-δ-盖.由定理1知M/N有投射δ-盖,设为(P,p).再由引理2知存在M的分解M=A⊕B,A,B≤M且B≤N,使得(A,p|A)是M/N的投射δ-盖.因此N∩A≪δA.故M是δ-提升模.

“⟹” 设η是M到M/N的自然满同态,M=X⊕Y,其中X,Y≤M,且X≤N,N∩Y≪δY.则(Y,η|Y)是M的投射δ-盖.若idM是M上的恒等态射,则(M⊕Y,idM⊕η|Y)是M⊕(M/N)的投射δ-盖.特别地,也是D4-δ-盖.

引理 3δ-直和补模保持有限直和.

证明类似于文献[9]中定理1.4的证明.

推论2若M是投射模,则M⊕M的任意商模有D4-δ-盖当且仅当M是δ-提升模.

证明“⟹” 由推论1知.

“⟸” 因为M是δ-提升模,所以是δ-直和补模.由引理3知M⊕M是δ-直和补模.又因为M是投射模,所以由引理2知M⊕M的任意商模有投射δ-盖.特别地,也是D4-δ-盖.

定理2设M是投射模.则下列叙述等价:

1)Mn是δ-完备模;

2)Mn的任意商模有D4-δ-盖;

3)Mn是δ-提升模;

4)M是δ-提升模.

证明1)⟹2),3)⟹4) 显然.

2)⟹3) 由推论1知.

4)⟹1) 若M是δ-提升模,则M是δ-直和补模,由引理3知Mn是δ-直和补模.因为M是投射模,所以Mn是投射模.则由推论2知Mn的任意商模有投射δ-盖.

引理4[8]设λ是模P到模M的满同态.则λ可裂当且仅当P⊕M是拟投射模.

定理3设λ是投射模P到模M的满同态.则M有投射δ-盖当且仅当P⊕M有拟投射δ-盖.

证明“⟹” 类似于定理1的证明.

“⟸” 设(Q,μ)是P⊕M的拟投射δ-盖,πP是P⊕M到P的自然投影.则πPμ是Q到P的满同态.由P的投射性知Q≅P⊕W,其中W=Ker(πPμ).不失一般性,假设Q=P⊕M,μ=idP⊕μ|W,其中idP是P上的恒等同态,μ|W是μ在W的限制同态.因此μ|W是W到M的满同态且Ker(μ|W)≪dW.由P的投射性可知存在P到W的同态β使得λ=β(μ|W).因此W=Im(β)+Ker(μ|W),因为Ker(μ|W)≪δW,所以由引理1知存在Ker(μ|W)的投射半单子模N使得W=Im(β)⊕N.又因为Q=P⊕W,且Q是拟投射模,所以W是拟投射模.又因为W=Im(β)⊕N,所以Im(β)是拟投射模.再由引理4知β可裂,即Im(β)同构于P的直和项,故Im(β)是投射模,从而W=Im(β)⊕N是投射模.

定理4设R是环.则下列叙述等价:

1)R是δ-半完备环;

2) 任意n≥1,循环Rn-模有拟投射δ-盖;

3) 存在n>1使任意循环Rn-模有拟投射δ-盖;

4) 每个有限生成R-模有D4-δ-盖;

5) 每个由两个元素生成的R-模有D4-δ-盖;

6) 任意n≥1,循环Rn-模有D4-δ-盖;

7) 存在n>1使任意循环Rn-模有D4-δ-盖.

证明2)⟹3),1)⟹4)⟹5),6)⟹7) 显然.

1)⟹2) 因为R是δ-半完备环,所以Rn是δ-半完备环,故对任意n≥1,循环Rn-模有拟投射δ-盖.

5)⟹1) 由推论2知RR是δ-提升模.因为R是投射模,所以由引理2知R是δ-半完备环.

1)⟹6) 由1)和3)等价知.

7)⟹1) 类似于3)⟹1)的证明.

引理 5[8]设R是环.则下列叙述等价:

1)R是δ-完备环;

2) 每个半单R-模有投射δ-盖;

3)R是δ-半完备环,且对任意R-模M有δ(M)≪δM(其中δ(M)=∑{L≤M∣L≪δM}).

定理5设R是环.则下列叙述等价:

1)R是δ-完备环;

2) 每个R-模有D4-δ-盖;

3) 每个有限生成的R-模有D4-δ-盖,且对任意R-模M有δ(M)≪δM.

证明1)⟹2) 显然.

2)⟹3) 因为R是δ-完备环,所以任意半单R-模有投射δ-盖,再由引理5知3)成立.

3)⟹1) 因为任意有限生成的R-模有D4-δ-盖,所以R是δ-半完备环,由引理5知1)成立.

定理6设R是环.则下列叙述等价:

1)R是δ-半正则环;

2) 任意有限表示R-模有D4-δ-盖.

证明1)⟹2) 显然.

2)⟹1) 设M是有限表示R-模,g是自由模F到模M的满同态,且F⊕M有D4-δ-盖.因此由定理1知M有投射δ-盖,故R是δ-半正则环.