杨婷

【摘要】本文以一元微积分为载体，讨论了微积分的概念教学方法，将微积分中的概念分为形式化与非形式化概念，并从语言学句子成分划分的角度，给出了微积分的概念教学方法——28字诀，将语言学和数学相互交叉与渗透.

【关键词】微积分；概念教学；句子成分划分；形式化概念；非形式化概念

数学概念是数学知识的细胞，是学生在数学学习中赖以思维的基础.然而微积分概念教学一直让教师和学生感到头疼，尤其是那些长达上百字的定义，给学生的印象是抽象的、散乱的、不可捉摸的.对于微积分概念的教与学，专家、学者们做出了很多探讨和研究（文献[1-3]），但这些文献主要是从纯数学的角度来阐述微积分概念的教学方法.李宪忠早于1994年在文献[4]中提到了数学和语文横向联系是科学发展的必然；张奠宙在文献[5]中指出“语文”和“數学”并不是也不应该“老死不相往来”，因为语文是语言，数学也是一种语言，应探讨他们的共性与差异，并将其相互交叉与渗透.本文受文献[4-5]的影响，以一元微积分为载体（以下内容都以一元微积分进行讨论），将其概念进行分类，从语言学句子成分划分[6]的角度探讨微积分概念教学方法.

一、从语言学中的句子成分划分说起

句子成分划分在语言学习中至关重要，它能够帮助学习者了解句子的构成及其组织规律、内在特征等.通过学习句子成分划分，学习者能够迅速“去枝留干”，深入、准确地理解长句和难句，获得句子所传达出来的信息.在文献[6]中已经详细介绍了与句子成分划分有关的几个知识性的问题，即主干成分——主语、谓语、宾语以及枝叶成分——定语、状语、补语的定义及作用，且明确了句子成分划分常用的符号：主语用表示，谓语用表示，宾语用表示，定语用（）表示，状语用[]表示，补语用〈〉表示.

二、简说微积分的形式化与非形式化概念

微积分研究的对象是函数，研究工具是极限，微积分的基本概念大致围绕以上两个概念展开，如初等函数、极限（数列极限、函数极限）、无穷小量、无穷大量、连续性、导数、微分、不定积分、定积分等等.然而这些概念有的主要用文字表达，有的为了揭示数学的本质及规律性引入了符号.结合数学中的形式化和非形式化[7]，本文将微积分的基本概念分为形式化概念和非形式化概念（考虑到微积分学习中文理的区别，以及后期的研究结论适用于绝大多数大学生，本文中的相关微积分概念均来自参考文献[8]）.

形式化概念是指用一套表意的符号体系，来表达数学概念的结构与规律，以揭示数学的本质和规律性.如极限的“ε-N，ε-δ”定义、导数、微分、定积分等.非形式的数学概念是指用特殊的数学符号和扩充的自然语言表达出来的，它是由名词、动词、形容词等等构成的，如极限的描述性定义、无穷小量、不定积分等.

形式化概念的优点[8]主要体现在它可以使数学理论体系更加系统性、简单性和严格性，还有助于同学们发现数学问题并创造数学理论，也有助于培养同学们数学证明的严谨性.然而形式化概念缺点也是显而易见的，它是抽象的、晦涩难懂的、枯燥乏味的，不符合学生的认知规律，也不能很好地培养学生的创造能力.非形式化概念的优点[8]主要是直观、易于理解，还可以顺应学生的认识发展规律.它的缺点是不够简单、严谨和系统，不利于数学的证明和本质规律的揭示，有碍学生的智力发展和能力提高.这就使得形式化概念和非形式化概念既是对立的，又是相辅相成的，它们都是数学教学中不可或缺的组成部分.

三、将语言学的句子成分划分引入微积分的概念教学

微积分中的形式化概念和非形式化概念既对立又相辅相成.非形式化概念大多由名词、动词、形容词的描述性语言组成，它用语言学句子成分划分去剖析是很自然的.为此，本文先探索非形式化概念的句子成分划分方法，然后再研究语言学句子成分划分在微积分形式化概念中的教学方法.

（一）细说“非形式化概念”的句子成分划分

首先以“不定积分”为例.不定积分定义：f（x）在区间I上的全体原函数称为f（x）在I上的不定积分，记作∫f（x）dx.我们将句子成分划分引入该定义中，先找出句子的主干——主、谓、宾，“全体原函数称为不定积分”，很容易了解到不定积分实际上是全体原函数；再看句子的枝叶——定、状、补，“（f（x）在区间I上的）全体原函数称为（f（x）在I上的）不定积分”，则进一步使得学生明确f（x）在区间I上的不定积分就是f（x）在区间I上的全体原函数，不仅抓住了不定积分的概念，还清楚了原函数和不定积分的关系.

再以“无穷小量”为例.学生对于无穷小量定义进行预习，有的认为无穷小量就是一个很小的数；有的认为无穷小量就是0；有的认为任何函数都是无穷小量等等.这些理解都是片面的.如果学生对此定义进行句子成分划分的话，之前误解必会解除.无穷小量定义：以零为极限的函数是无穷小量.首先找出句子的主干——主、谓、宾，“函数是无穷小量”，很明显无穷小量是函数，不可能是一个很小的数，也不可能仅仅是0；然后找出句子的枝叶——定、状、补，“（以零为极限的）函数是无穷小量”，可以看出不是什么函数都能成为无穷小量，而是只有以零为极限的函数才是无穷小量.

可见，非形式化概念用句子成分划分法进行剖析，有利于对概念的初步理解和把握，特别是对那些初学者和自学者会有较好的效果.

（二）详说形式化概念的句子成分划分

该类定义的特征是用符号表达出来的，不过依旧离不开文字的串联.

以“导数”为例.导数这个概念，学生在高中阶段都有所接触，但经过简单的调研，大部分同学认为导数就是斜率，少部分同学认为是求导及公式，还有部分认为其是判断增减性和求极值的工具.这些理解都没有抓住导数的本质，下面我们将句子成分划分引进“导数”.导数定义：设函数y=f（x）在点x0的某一领域内有定义，当自变量x在x0处由增量Δx（点x0+Δx仍在该领域内）时，相应的函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果Δy与Δx之比ΔyΔx，当Δx→0时的极限存在，则该比值的极限值称为y=f（x）在点x0的导数，记作f′（x0），y′x=x0，dydxx=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx.该概念较长，我们首先应找出概念所在句子“该比值的极限值称为y=f（x）在点x0的导数”；其次找出它们的主干——主、谓、宾，“极限值称为导数”，这样学生即明确导数是一个极限值，而不仅仅是斜率等.此时教师因势利导，“那么什么样的极限值才能是导数，是谁的导数？”然后找出句子的枝叶——定、状、补，“（该比值的）极限值称为（y=f（x）在点x0的）导数”，于是更加明确是比值的极限值称为y=f（x）在点x0的导数；最后从前文的句子中获悉ΔyΔx的极限值（存在的话）为y=f（x）在点x0的导数，即增量比值的极限值是导数.再结合斜率、瞬时速度等现实情境的讲解，相信同学们会有一个更为明确的理解，更能把握导数的本质——“变化率”的思想.

从这几个例子可以看出，形式化概念的句子成分划分的思想不如非形式化概念容易把握，但是确实有利于对形式化概念的初步理解，尤其是那些较长的定义，能很快地把握概念所指.

四、总结句子成分划分在微积分概念教学中的方法与效果

非形式化概念和形式化概念的教学在句子成分划分的角度下略有不同.一般来说，非形式化概念较短，符号语言较少，基本可以按照语言学中句子成分划分的角度直接进行剖析，寻找“主、谓、宾”“定、状、补”，进而把握住概念的实质；而形式化概念一般句子较长，符号较多，我们应该先找到被剖析概念所在的句子，其次对该句进行剖析（寻找“主、谓、宾”“定、状、补”），然后再纵观全局（即整个概念）进一步剖析，最后结合前文或者现实情境引入，更加深刻地把握其本质.笔者现将句子成分划分在微积分中概念教学的方法和效果给出：

第一，微积分概念教学的句子成分划分口诀（简称“28字诀”）：定义概念视为宾，纵观全局找主谓，定好主干找枝叶，数学概念现本质.

第二，微积分定义中句子成分划分效果：（1）适合认知，既会又懂.句子成分划分在中学阶段是语言学重点，大家对其较为熟悉，从心理认知的角度来说是比较适合大学生的，对于非形式化概念，学生采用句子成分划分方法容易理解和把握；对于形式化概念，学生能对该概念初步掌握，一旦结合课堂上的分析、讲解，学生空洞、抽象之感就会挥之即去，长此以往，学生对此类定义的自学能力也会提高.（2）简洁明了，准确把握.找出句子的主干——主、谓、宾，能让学生准确把握此概念所处的范围.如，极限为定积分.这就明确了定积分首先是極限.（3）概念多多，关系易显.如不定积分和原函数的关系，如极限和导数、定积分的关系.（4）省时省力，教学轻松.如果教师对定义进行句子成分划分，进行讲授时就能节省不少时间，学生也能很好地把握.（5）结合语文，激发兴趣.在数学教学中，引入句子成分划分的方法，使得学生在定义分析过程中对学习产生兴趣，对于较长、较复杂定义的自学时，不会感到厌烦.笔者曾对自己教过的学生进行调查，学生都表示这种方法使其印象深刻.

总之，在微积分定义中使用句子成分划分方法，对学生理解、掌握定义的本质能够起到很好的推动作用，是一种深受学生欢迎的、行之有效的方法.

【参考文献】

[1]高雪芬.一元微积分概念教学的设计研究[D].上海：华东师范大学，2013.

[2]蔡俊亮.关于多元函数极限的一点注记[J].大学数学，2014（5）：102-105.

[3]张文祥.以研讨的思路进行微积分教学[J].大学数学，2004（2）：42-43.

[4]李宪忠.谈数学和语文的横向联系[J].河南师范大学学报（哲学社会科学版），1994（4）：89-90.

[5]张奠宙.架起沟通语文和数学两科教学的桥梁[J].中小学教材教学，2015（2）：16-18.

[6]盛海英.句子成分的划分[J].语文教学与研究，1997（9）：31.

[7]殷启正，刘培文，戴美凤.试论数学的形式化与非形式化[J].洛阳大学学报，1995（4）：19-27.

[8]张国楚，徐本顺，王立东，李祎.大学文科数学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2007：26-27.