广东省广州市花都区秀全中学(510800) 董大新

图式理论是一种关于人的知识是怎样表征出来,以及关于知识的表征如何以特有的方式、有利于知识的应用的理论;按瑞士著名心理学家皮亚杰的观念,图式是一种个体获得的结构,联结在经验与概念之间,对外界刺激的信息有筛选、整合的作用,从而对认知活动有较强的影响;因此,若能在数学教学的关键环节中构建一些科学有效的教学图式,教师备课时就会依据图式这种上位观念而不会仅凭经验,面对众多的备课资源和课件时就知道筛选、整合,这必将对教师在进行教学设计时产生积极影响,提高教师的备课水平及备课效率.

数学知识大多数为概念、法则、公式、定理等,按皮连生教授所著《学与教的心理学》的观点,这些内容都是程序性知识,而程序性知识的学习可分为关键的三个阶段:习得、转化、迁移,在这三个环节中形成教学参考的图式是非常有必要的,可以让这三个阶段的教学更有效果,真的让学生习得新知、转化为技能、迁移到问题解决,在每个环节上抓住其难点,揭示其规律,直观其做法.下面通过三角函数的合一变换公式教学谈谈习得、转化、迁移三个环节教学图式的建构.

一、习得环节的图式

数学公式即数学规则,规则的习得主要解决对规则的理解问题,往往是通过例规法获得,所谓例规法简单讲就是从特例组分析概括出共同特征,得到规则;在这一过程中,要在特例里抓住其内涵的本质要求,才能过渡到一般情境下适应的结论;在设置特例组时要让特例的特殊性渐渐减弱,在解决问题时应凸显特例共性的数学意义的理解,才能过渡到一般性问题的解决.教学图式为:条件渐弱的特例问题组——聚焦本质的特例组解决,一般问题——一般解决,且两类问题的解决本质是相同的.第一步的解决会容易想当然的得到,如不深究原因,不想清楚其数学的内在逻辑意义,第二步的结果就会很生硬,这会让学生理解新知留下隐患.

例2将转化为一个三角函数式.

二、转化环节的图式

这一阶段主要解决规则如何由陈述性形式转化为程序性形式,要明确运用规则办事的程序与步骤,并在典型情境中尝试运用.因为新问题情境给出的三角式比较复杂,要对此进行合一变换刚开始是不易的,所以如何使对外办事的能力更强,就必须把规则的陈述性形式转化为程序性形式,此转换要通过变式训练来达成,如何才能把变式设计好,使得规则的转化比较顺利.一个教学图式是:先概括规则中的学科特征(本文为角名形),再明确这些特征的改变可以通过哪些已经学过的知识来达成,然后思考当有多个特征需要变化时应按照怎样的顺序(角名形)进行.最后选择各类典型习题递度训练,从而让学生形成解决此类问题的程序与步骤.

例4将转化为一个函数.

分析目标式有4次、2次,角同,应利用平方差公式及二倍角公式等先降次

变形经验变形中通常是考虑先降次,再化角,化简中往往会出现形为Acos2x+Bsin2x+Csinxcosx可合一的典型结构.

三、迁移环节的图式

主要是在新的情境中灵活运用习得的技能去解决综合性问题.在此阶段的教学中可以参考的图式为:首先要让学生理解刚习得的知识有什么功能,隐含什么样的学科思想;其次抓住规则的功能与设问的联系,从而明确解题方向,发生近迁移;解题的灵活性经常是不受限于惯性思维,能从规则的本质和学习过程中反映的学科思想理念层次上思考,创新性地解决问题,发生远迁移.

例6(2015高考福建,理19改编)已知关于x的方程2sinx+cosx=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b.

(1)求实数m的取值范围;

(2)要求a,b两角差的余弦,若直接代入方程2sinx+cosx=m,较难发现a,b两角的关系,若合一变换为一个函数与y=m相交两点的横坐标,根据正弦图像的对称性,易得a,b的关系,从而问题易解:因为α,β是方程在区间[0,2p)内有两个不同的解,所以当当所以cos(a-b)=-cos2(b+j)=2sin2(b+j)-1=

例7(2016高考浙江理数改编)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,求:

(1)f(x)的值域;

(2)f(x)的最小正周期.

分析(1)按惯性思维用合一变换公式转化为一个函数,不符合合一变型的条件,此路不通;反思,合一变换的数学思想是化归为一个已知的函数,故可用换元法化归为一个二次函数,答案略.